Алгебра – 11 класс. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

  • Главная
  • Калькуляторы
  • Математика
  • Числа
  • Треугольник Паскаля

Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.

Треугольник Паскаля
1
1 1     1
2 1     2     1
3 1     3     3     1
4 1     4     6     4     1
5 1     5     10     10     5     1
6 1     6     15     20     15     6     1

Треугольник Паскаля можно получить из таблицы натуральных степеней бинома x + y

Натуральные степени бинома x + y

Степень Разложение в сумму одночленов
(x + y) = 1
1 (x + y)1 = 1x + 1y
2 (x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2
3 (x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3
4 (x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4
5 (x + y)5 = 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5
6 (x + y)6 = 1x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + 1y6

Свойства треугольника Паскаля

Теория

  • Сумма чисел n-ной строки (отсчет ведется с нуля) треугольника Паскаля равна 2n. Действительно, при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна .
  • Все строки треугольника Паскаля симметричны. Потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична.
  • Каждое число в треугольнике Паскаля равно Cnk, где n — номер строки, k — номер (отсчет ведется с нуля) элемента в строке.
  • Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный диагоналями, на пересечении которых находится этот элемент.
  • Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа, тетраэдрические числа и т.д.
  • Если посчитать для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, то получится соответствующее число Фибоначчи.

Определения

Теория

  • Треугольными числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде равностороннего треугольника.

  • Тетраэдрическими числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде правильного тетраэдра.

  • Последовательность f1 = f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2 при n>2 называется последовательностью Фибоначчи, а ее члены — числами Фибоначчи.

Написать разложение вида: (x + y)7

Пример

Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером 6 и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером 7:

6 1     6     15     20     15     6     1
7 1     7     21     35     35     21     7     1

Следовательно, (x + y)7 = x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y2 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7 .

Интересуетесь топовыми гаджетами и популярными технологическими новинками?👍 Подписывайтесь на телеграм канал @upkitai ( ссылка t.me/upkitai )

Урок и презентация на тему: «Треугольник Паскаля. Бином Ньютона»

Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.Скачать:Треугольник Паскаля. Бином Ньютона (PPTX)Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 11 классаАлгебраические задачи с параметрами, 9–11 классыИнтерактивное пособие для 9–11 классов «Тригонометрия» Ребята, на прошлом уроке мы с вами изучали перестановки и размещения. Сегодня мы остановимся на одном из самых замечательных применением формулы перестановок. Числа $C_n^{k}$ имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение. Такая запись называется треугольником Паскаля: 11-klass-algebra-binom_nytona_1.jpg Правило записи треугольника легко запомнить. Каждое число в треугольнике паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке. Давайте распишем несколько строк: 11-klass-algebra-binom_nytona_2_new.jpg Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так: 11-klass-algebra-binom_nytona_3.jpg Как оказалось треугольника Паскаля находит свое применение и в другой математической задаче. Давайте вспомним несколько правил возведения в квадрат суммы. Самое первое правило, которое мы с вами выучили, это квадрат суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Довольно таки легко найти выражение и для следующей степени, используя правила перемножения многочленов: $(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Проделаем эту же операцию и для четвертой степени: $(a+b)^4=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$. Выпишем для наглядности все наши формулы: $(a+b)^1=a+b$. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. $(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. $(a+b)^4=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$. Давайте проведем небольшой анализ полученных формул. Обратить внимание: показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части для любого слагаемого. Для четвертой степени, очевидно, что слева показатель равен 4. В правой части показатель степени при первом слагаемом равен для а четырем, для b нулю и в сумме равен 4. Для второго слагаемого сумма показателей равна $3+1=4$, для следующего — $2+2=4$ и так до самого конца сумма показателей равна 4. Ребята, посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части. Что он вам напоминает? Правильно, коэффициенты образуют треугольник Паскаля. Эти два замечательных свойства, замеченных выше, позволяют вычислять сумму двух одночленов в n-ой степени: $(a+b)^n=C_n^{0}a^n+C_n^{1}a^{n-1}b+C_n^{2}a^{n-2}b^2+C_n^{3}a^{n-3}b^3+…+C_n^{k}a^{n-k}b^k+…+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^{n}b^n$. Давайте попробуем доказать нашу формулу: Рассмотрим слагаемое, стоящее на месте под номером $k+1$. По написанной выше формуле получаем, вот такое слагаемое: $C_n^{k}a^{n-k}b^k$. Нам нужно доказать, что коэффициент при данном одночлене как раз и равен $C_n^{k}$. Для того, чтобы двучлен возвести в n-ую степень нам нужно этот двучлен умножить на себя n раз, то есть: 11-klass-algebra-binom_nytona_4.jpg Чтобы получить требуемое слагаемое надо выбрать k штук множителей для b. Тогда получается $n-k$ множителей для а. В каком порядке будем выбирать данные множители не важно. Эта задача есть ни что иное как: число сочетаний из n элементов по k без повторений или $C_n^{k}$. Наша формула доказана. Полученная нами формула называется «Бином Ньютона». $(a+b)^n=C_n^{0}a^n+C_n^{1}a^{n-1}b+C_n^{2}a^{n-2}b^2+C_n^{3}a^{n-3}b^3+…+C_n^{k}a^{n-k}b^k+…+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^{n}b^n$. Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми, это биномиальные коэффициенты. Пример. Раскрыть скобки: а) $(y+1)^7$; б) $(z^2-3t)^5$. Решение. Применим нашу формулу: $а(y+1)^7=C_7^{0}y^7+C_7^{1}*y^6*1+C_7^{2}*y^5*1^2+C_7^{3}*y^4*1^3+C_7^{4}*y^3*1^4+$ $+C_7^{5}*y^2*1^5+C_7^{6}*y*1^6+C_7^{7}*1^7$. Вычислим все коэффициенты: $C_7^{0}=1$; $C_7^{1}=7$; $C_7^2=frac{7!}{2!5!}=21$; $C_7^3=35$; $C_7^4=35$; $C_7^5=21$; $C_7^6=7$; $C_7^7=1$. В итоге получаем: $(y+1)^7=y^7+7*y^6+21*y^5+35*y^4+35*y^3+21*y^2+7*y+1$. б) $(z^2-3t)^5=C_5^{0}*(z^2)^5+C_5^{1}*(z^2 )^4*(-3t)^1+C_5^{2}*(z^2)^3*(-3t)^2+$ $C_5^{3}*(z^2 )^2*(-3t)^3+C_5^{4}*(z^2)^1*(-3t)^4+C_5^{5}*(z^2)^0*(-3t)^5=$ $z^{10}+5*z^8*(-3t)+10*z^6*(9t^2)+10*z^4*(-27t^3)+5*z^2*(81t^4)-243t^5=$ $z^{10}-15z^8 t+90z^6t^2-270z^4t^3+405z^2t^4-243t^5$. В конце урока обратим вниманием на еще одно удивительное свойство. Рассмотрим двучлен: $(x+1)^n$. Используя Бином Ньютона получим: При $х=1$ получаем: $(x+1)^n=C_n^{0}x^n+C_n^{1}x^{n-1}+C_n^{2}x^{n-2}+C_n^{3}x^{n-3}+…+C_n^{n-2}x^{2}+C_n^{n-1}x+C_n^{n}$. При $х=1$ получаем: $2^n=C_n^{0}+C_n^{1}+C_n^{2}+C_n^{3}+…+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^{n}$.

Задачи для самостоятельного решения

Избавьтесь от скобок: а) $(x+2)^6$; б) $(3x+2y)^4$; в) $(2z-2t)^8$; г) $(x-4y)^5$.

Треугольник Паскаля — элегантный математический треугольник, представляющий собой бесконечную таблицу биноминальных коэффициентов. Таблица иллюстрирует скрытые соотношения между числами, которые естественным образом возникают в теории чисел, комбинаторике, теории вероятностей и алгебре.

Суть треугольной последовательности

Число 1 — важное число, а 11? Любопытно, что 11 × 11 = 121, 11 × 11 × 11 = 1331, а 11 × 11 × 11 × 11 = 14641. Если выстроить эти числа сверху вниз и представить их в виде отдельных цифр, то получится интересная формация:

  • 1
  • 1 1
  • 1 2 1
  • 1 3 3 1
  • 1 4 6 4 1

Эти цифры — первые строки знаменитого треугольника Паскаля. Далее таблица строится по следующему принципу: по краям записываются единицы, а внутри ряда числа формируются путем суммы цифр, расположенных рядом выше слева и справа от искомых. Данная таблица знаменита в математике своей элегантностью, симметрией и неожиданными связями между числами. Связи таблицы с другими математическими сферами превратили треугольник Паскаля в Священный Грааль математики.

История открытия

Считается, что таблица была открыта Блезом Паскалем в 1653 году, однако происхождение формации гораздо древнее. Первое упоминание о бесконечной треугольной таблице встречается в трудах индийских математиков 10-го века, а наиболее полная информация о треугольнике представлена в работе китайского математика Шицзе, опубликованной в 1303 году. Однако и Шизце лишь упомянул о формации, создателем же треугольника Паскаля считается китайский ученый Ян Хуэй, поэтому в Китае таблица биноминальных коэффициентов носит название «треугольник Хуэя».

Удивительные свойства

Симметрия — очевидное свойство треугольника Паскаля. Если из верхней единицы провести вертикальную прямую, то числа справа и слева будут симметричны. Диагонали треугольника также симметричны. Диагонали вообще обладают рядом уникальных свойств. Если первая диагональ, как восточная, так и западная, представляет собой ряд сплошных единиц, то вторая — ряд натуральных чисел, третья — ряд треугольных чисел, а четвертая — тетраэдрических.

  • Треугольные числа (1, 3, 6, 10…) — это числа, при помощи которых строятся плоские треугольники. Простыми словами, если в двухмерной игре вы захотите составить треугольник из круглых элементов, то вам понадобится выстроить элементы в количестве, советующему треугольным числам: сначала 6 кругов, потом 3, потом 1.
  • Тетраэдрические числа (1, 4, 10, 20…) используются для построения объемных тетраэдров. Проще говоря, если вам понадобится сложить пушечные ядра аккуратной пирамидой, то в основании вам потребуется уложить 20 ядер, на них еще 10, сверху 4 и увенчать пирамиду одним верхним ядром.

Кроме того, если в треугольнике Паскаля четные числа заменить единицами, а нечетные — нулями, то получится треугольник Серпинского — известный фрактал, построенный польским математиком в начале 20 века.

Треугольник Паскаля также имеет удивительную связь с алгеброй. Если мы разложим бином Ньютона вида (1 + x)2, то получим 1 + 2x + x2. Если же это будет (1 + x)3, то в результате мы получим 1 + 3x + 3x2 + x3. Если присмотреться, то биноминальные коэффициенты — это ни что иное как числа из соответствующего ряда треугольника Паскаля.

Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля — это бесконечная таблица элементов. При помощи нашего калькулятора вы можете построить таблицу любой размерности, однако не рекомендуется использовать слишком большие числа (n>100), так как столь огромные таблицы не имеют практического применения, а онлайн-калькулятор строит их слишком долго. Помимо элегантных свойств, используемых для решения биноминальных уравнений или построения тетраэдрических последовательностей, таблица Паскаля находит применение в комбинаторике.

Примеры из реальной жизни

Подсчет количества способов

Если на кафедре работают 7 математиков, и троих из них нужно отправить на городскую олимпиаду, то сколькими способами можно это сделать? Это стандартная задача на комбинаторику, в котором важен порядок элементов, то есть вариант «Сидоров, Иванов и Петров» отличается от варианта «Иванов, Петров, Сидоров», хотя выбранная группа математиков одна и та же. Такая ситуация возникает в случае, если преподаватели должны участвовать в разных конкурсах. При «ручном» решении нам пришлось бы использовать стандартные формулы для комбинаторики, однако проще воспользоваться свойствами треугольника Паскаля.

Для ответа на вопрос нам достаточно построить треугольник с n = 10, найти седьмой ряд и третье число в нем. Таким образом, существует 35 способов объединить математиков для поездки на олимпиаду.

Определение вероятности

В корзине лежит 20 шаров, пронумерованных от 1 до 20. Наугад мы берем 3 шара. Какова вероятность, что мы вытащим шары с номерами 5, 12 и 13? Для решения этой задачи нам потребуется построить треугольник Паскаля с n = 20, после чего найти двадцатый ряд и третье число в нем. Вытащить три шара можно 1140 способами. Вероятность наступления нашего события составит 3 из 1140.

Заключение

Треугольник Паскаля — простая таблица, которая таит в себе огромное количество математических тайн. Члены рядов связаны с биноминальными коэффициентами, совершенными числами, числами Фибоначчи, тетраэдрическими и треугольными числами. Используйте наш калькулятор для построения сетки необходимой вам размерности для решения самых разных математических задач.

ТолкованиеПереводТреугольник Паскаля</dt> Первые 15 строк треугольника Паскаля (n = 0, 1, …, 14)

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Имеет применение в теории вероятностей.

История

Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X векаХалаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году[1]) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»[2].

Свойства

  • Числа треугольника симметричны(равны) относительно вертикальной оси.
  • В строке с номером n:
    • первое и последнее числа равны 1.
    • второе и предпоследнее числа равны n.
    • третье число равно треугольному числу, что также равно сумме номеров предшествующих строк[3].
    • четвёртое число является тетраэдрическим[3].
    • m-е число равно биномиальному коэффициенту.
  • Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:[3]
  • Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.[3]
  • Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна [3].
  • Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом[4] (следствие теоремы Люка).
  • Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют детерминистские фракталы с вращательной симметрией 3-го порядка, которые в полной мере выявляются учётом показателей степеней простых делителей [6] .
  • Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
  • Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Цитаты

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике[5].Мартин Гарднер

Примечания

  1. О. В. Кузьмин Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6. — № 5. — С. 101—109.
  2. Удивительный треугольник великого француза // Hard’n’Soft. — 2003. — № 10.
  3. 12345В. Байдикова Вариации на тему «Треугольник Паскаля» // ИМиДЖ. — № 7.
  4. Weisstein, Eric W.Pascal’s Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  5. Мартин Гарднер Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с.

Ссылки

  • Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.
  • Weisstein, Eric W.Pascal’s Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Категория:

  • Комбинаторика

</dd>

Wikimedia Foundation. 2010.

</dl>Другие книги по запросу «Треугольник Паскаля» >>

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля

История

Назван в честь Блеза Паскаля. Блез Паскаль ввел свой треугольник в 1653 г. в труде “Traité du triangle arithmétique”, как часть задачи для исследования вероятностей и для вычислений. Задачи были примерно такие: “Если я хочу выбрать двух человек из четырех данных, сколько существует возможных пар?’’ или “Какова вероятность выпадения фулл-хауса (примеч. в покере три карты одного достоинства и две другого), когда раздается по пять карт из колоды, которая хорошо перемешана?’’ Паскаль и Ферма в основном обсуждали вероятность в письмах, которыми они обменивались в то время. Треугольник Паскаля

Изначально треугольник Паскаля выглядел следующим образом:

Pascal_Blaise-300x207.jpeg
Изначальный вид треугольника Паскаля

Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.

Треугольник Паскаля

Закономерности треугольника Паскаля

hWzgeJPzEVkat.jpg
Числа Фибоначчи в треугольнике Паскаля

Существует множество интересных закономерностей, связанных с треугольником Паскаля. Например, сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2^n, а сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи (вторая картинка).

Заметим еще одно красивое свойство. Покрасим каждое число в треугольнике Паскаля в один из двух цветов, в зависимости от того, является оно четным или нечетным. Например, четные числа белым, а нечетные синим. Если мы сделаем это для первых 500 строк треугольника, получим третью картинку – фрактал, известный как треугольник Серпинского (Вацлавом Серпинским в 1915 году).

LcJhe_DX-UYat.jpg
Треугольник Серпинского
hvV9Y0HFgesat.jpg
Восемь цветов треугольника паскаля

Число четное или нечетное, если оно при делении на 2 дает остаток 0 или 1 соответственно. Что происходит, когда разделим на 8? Остатки могут быть равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7. Что произойдет, если использовать восемь цветов и покрасить каждое число в соответствии с его остатком при делении на восемь? Для первых 500 строк треугольника получим четвертую картинку.

[content-egg module=Youtube]

Используемые источники:

  • https://calcsbox.com/post/treugolnik-paskala.html
  • https://mathematics-tests.com/11-klass-uroki-presentatsii/11-klass-binom-nytona
  • https://bbf.ru/calculators/94/
  • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/691603
  • https://fib0.ru/treugol-nik-paskalya.html

Оставьте комментарий