Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

  • Таблица СИНУСОВ…
  • Таблица косинусов…
  • Таблица тангенсов…
  • Таблица котангенсов…

СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)
α (радианы) π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2
α (градусы) 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
SIN α (СИНУС) 1/2 2/2 3/2 1 -1

Полная таблица синусов для углов от 0° до  360° с шагом всего в 1° 
Угол в градусах Sin (Синус)
0.0175
0.0349
0.0523
0.0698
0.0872
0.1045
0.1219
0.1392
0.1564
10° 0.1736
11° 0.1908
12° 0.2079
13° 0.225
14° 0.2419
15° 0.2588
16° 0.2756
17° 0.2924
18° 0.309
19° 0.3256
20° 0.342
21° 0.3584
22° 0.3746
23° 0.3907
24° 0.4067
25° 0.4226
26° 0.4384
27° 0.454
28° 0.4695
29° 0.4848
30° 0.5
31° 0.515
32° 0.5299
33° 0.5446
34° 0.5592
35° 0.5736
36° 0.5878
37° 0.6018
38° 0.6157
39° 0.6293
40° 0.6428
41° 0.6561
42° 0.6691
43° 0.682
44° 0.6947
45° 0.7071
46° 0.7193
47° 0.7314
48° 0.7431
49° 0.7547
50° 0.766
51° 0.7771
52° 0.788
53° 0.7986
54° 0.809
55° 0.8192
56° 0.829
57° 0.8387
58° 0.848
59° 0.8572
60° 0.866
61° 0.8746
62° 0.8829
63° 0.891
64° 0.8988
65° 0.9063
66° 0.9135
67° 0.9205
68° 0.9272
69° 0.9336
70° 0.9397
71° 0.9455
72° 0.9511
73° 0.9563
74° 0.9613
75° 0.9659
76° 0.9703
77° 0.9744
78° 0.9781
79° 0.9816
80° 0.9848
81° 0.9877
82° 0.9903
83° 0.9925
84° 0.9945
85° 0.9962
86° 0.9976
87° 0.9986
88° 0.9994
89° 0.9998
90° 1

Полная таблица синусов для углов от 91° до 180°
Угол в градусах Sin (Синус)
91° 0.9998
92° 0.9994
93° 0.9986
94° 0.9976
95° 0.9962
96° 0.9945
97° 0.9925
98° 0.9903
99° 0.9877
100° 0.9848
101° 0.9816
102° 0.9781
103° 0.9744
104° 0.9703
105° 0.9659
106° 0.9613
107° 0.9563
108° 0.9511
109° 0.9455
110° 0.9397
111° 0.9336
112° 0.9272
113° 0.9205
114° 0.9135
115° 0.9063
116° 0.8988
117° 0.891
118° 0.8829
119° 0.8746
120° 0.866
121° 0.8572
122° 0.848
123° 0.8387
124° 0.829
125° 0.8192
126° 0.809
127° 0.7986
128° 0.788
129° 0.7771
130° 0.766
131° 0.7547
132° 0.7431
133° 0.7314
134° 0.7193
135° 0.7071
136° 0.6947
137° 0.682
138° 0.6691
139° 0.6561
140° 0.6428
141° 0.6293
142° 0.6157
143° 0.6018
144° 0.5878
145° 0.5736
146° 0.5592
147° 0.5446
148° 0.5299
149° 0.515
150° 0.5
151° 0.4848
152° 0.4695
153° 0.454
154° 0.4384
155° 0.4226
156° 0.4067
157° 0.3907
158° 0.3746
159° 0.3584
160° 0.342
161° 0.3256
162° 0.309
163° 0.2924
164° 0.2756
165° 0.2588
166° 0.2419
167° 0.225
168° 0.2079
169° 0.1908
170° 0.1736
171° 0.1564
172° 0.1392
173° 0.1219
174° 0.1045
175° 0.0872
176° 0.0698
177° 0.0523
178° 0.0349
179° 0.0175
180°

Таблица синусов для углов  181° — 270°
Угол Sin (Синус)
181° -0.0175
182° -0.0349
183° -0.0523
184° -0.0698
185° -0.0872
186° -0.1045
187° -0.1219
188° -0.1392
189° -0.1564
190° -0.1736
191° -0.1908
192° -0.2079
193° -0.225
194° -0.2419
195° -0.2588
196° -0.2756
197° -0.2924
198° -0.309
199° -0.3256
200° -0.342
201° -0.3584
202° -0.3746
203° -0.3907
204° -0.4067
205° -0.4226
206° -0.4384
207° -0.454
208° -0.4695
209° -0.4848
210° -0.5
211° -0.515
212° -0.5299
213° -0.5446
214° -0.5592
215° -0.5736
216° -0.5878
217° -0.6018
218° -0.6157
219° -0.6293
220° -0.6428
221° -0.6561
222° -0.6691
223° -0.682
224° -0.6947
225° -0.7071
226° -0.7193
227° -0.7314
228° -0.7431
229° -0.7547
230° -0.766
231° -0.7771
232° -0.788
233° -0.7986
234° -0.809
235° -0.8192
236° -0.829
237° -0.8387
238° -0.848
239° -0.8572
240° -0.866
241° -0.8746
242° -0.8829
243° -0.891
244° -0.8988
245° -0.9063
246° -0.9135
247° -0.9205
248° -0.9272
249° -0.9336
250° -0.9397
251° -0.9455
252° -0.9511
253° -0.9563
254° -0.9613
255° -0.9659
256° -0.9703
257° -0.9744
258° -0.9781
259° -0.9816
260° -0.9848
261° -0.9877
262° -0.9903
263° -0.9925
264° -0.9945
265° -0.9962
266° -0.9976
267° -0.9986
268° -0.9994
269° -0.9998
270° -1

Таблица синусов для углов от 271° до 360°
Угол Sin (Синус)
271° -0.9998
272° -0.9994
273° -0.9986
274° -0.9976
275° -0.9962
276° -0.9945
277° -0.9925
278° -0.9903
279° -0.9877
280° -0.9848
281° -0.9816
282° -0.9781
283° -0.9744
284° -0.9703
285° -0.9659
286° -0.9613
287° -0.9563
288° -0.9511
289° -0.9455
290° -0.9397
291° -0.9336
292° -0.9272
293° -0.9205
294° -0.9135
295° -0.9063
296° -0.8988
297° -0.891
298° -0.8829
299° -0.8746
300° -0.866
301° -0.8572
302° -0.848
303° -0.8387
304° -0.829
305° -0.8192
306° -0.809
307° -0.7986
308° -0.788
309° -0.7771
310° -0.766
311° -0.7547
312° -0.7431
313° -0.7314
314° -0.7193
315° -0.7071
316° -0.6947
317° -0.682
318° -0.6691
319° -0.6561
320° -0.6428
321° -0.6293
322° -0.6157
323° -0.6018
324° -0.5878
325° -0.5736
326° -0.5592
327° -0.5446
328° -0.5299
329° -0.515
330° -0.5
331° -0.4848
332° -0.4695
333° -0.454
334° -0.4384
335° -0.4226
336° -0.4067
337° -0.3907
338° -0.3746
339° -0.3584
340° -0.342
341° -0.3256
342° -0.309
343° -0.2924
344° -0.2756
345° -0.2588
346° -0.2419
347° -0.225
348° -0.2079
349° -0.1908
350° -0.1736
351° -0.1564
352° -0.1392
353° -0.1219
354° -0.1045
355° -0.0872
356° -0.0698
357° -0.0523
358° -0.0349
359° -0.0175
360°

Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе.

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла.

Пример

Чему равен синус 45? …

— А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071

Автор: <title>Таблица синусов</title>

Главная<font> > </font>с<font> ></font>

Таблица синусов для основных углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

90° 180° 270° 360°
sin x 1 -1

Радиан — угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.

Градус (в геометрии) — 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла.

π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи).

Таблица синусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°.

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
<font>π</font>/6 <font>π</font>/4 <font>π</font>/3 <font>π</font>/2 2 x <font>π</font>/3 3 x <font>π</font>/4 5 x <font>π</font>/6 <font>π</font>
sin x 1/2(0,5) √2/2(0,7071) √3/2(0,8660) 1 √3/2(0,8660) √2/2(0,7071) 1/2(0,5)

Таблица синусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.

sin= 0.0175 91° sin= 0.9998 181° sin= -0.0175 271° sin= -0.9998
sin= 0.0349 92° sin= 0.9994 182° sin= -0.0349 272° sin= -0.9994
sin= 0.0523 93° sin= 0.9986 183° sin= -0.0523 273° sin= -0.9986
sin= 0.0698 94° sin= 0.9976 184° sin= -0.0698 274° sin= -0.9976
sin= 0.0872 95° sin= 0.9962 185° sin= -0.0872 275° sin= -0.9962
sin= 0.1045 96° sin= 0.9945 186° sin= -0.1045 276° sin= -0.9945
sin= 0.1219 97° sin= 0.9925 187° sin= -0.1219 277° sin= -0.9925
sin= 0.1392 98° sin= 0.9903 188° sin= -0.1392 278° sin= -0.9903
sin= 0.1564 99° sin= 0.9877 189° sin= -0.1564 279° sin= -0.9877
10° sin= 0.1736 100° sin= 0.9848 190° sin= -0.1736 280° sin= -0.9848
11° sin= 0.1908 101° sin= 0.9816 191° sin= -0.1908 281° sin= -0.9816
12° sin= 0.2079 102° sin= 0.9781 192° sin= -0.2079 282° sin= -0.9781
13° sin= 0.2250 103° sin= 0.9744 193° sin= -0.2250 283° sin= -0.9744
14° sin= 0.2419 104° sin= 0.9703 194° sin= -0.2419 284° sin= -0.9703
15° sin= 0.2588 105° sin= 0.9659 195° sin= -0.2588 285° sin= -0.9659
16° sin= 0.2756 106° sin= 0.9613 196° sin= -0.2756 286° sin= -0.9613
17° sin= 0.2924 107° sin= 0.9563 197° sin= -0.2924 287° sin= -0.9563
18° sin= 0.3090 108° sin= 0.9511 198° sin= -0.3090 288° sin= -0.9511
19° sin= 0.3256 109° sin= 0.9455 199° sin= -0.3256 289° sin= -0.9455
20° sin= 0.3420 110° sin= 0.9397 200° sin= -0.3420 290° sin= -0.9397
21° sin= 0.3584 111° sin= 0.9336 201° sin= -0.3584 291° sin= -0.9336
22° sin= 0.3746 112° sin= 0.9272 202° sin= -0.3746 292° sin= -0.9272
23° sin= 0.3907 113° sin= 0.9205 203° sin= -0.3907 293° sin= -0.9205
24° sin= 0.4067 114° sin= 0.9135 204° sin= -0.4067 294° sin= -0.9135
25° sin= 0.4226 115° sin= 0.9063 205° sin= -0.4226 295° sin= -0.9063
26° sin= 0.4384 116° sin= 0.8988 206° sin= -0.4384 296° sin= -0.8988
27° sin= 0.4540 117° sin= 0.8910 207° sin= -0.4540 297° sin= -0.8910
28° sin= 0.4695 118° sin= 0.8829 208° sin= -0.4695 298° sin= -0.8829
29° sin= 0.4848 119° sin= 0.8746 209° sin= -0.4848 299° sin= -0.8746
30° sin= 0.5000 120° sin= 0.8660 210° sin= -0.5000 300° sin= -0.8660
31° sin= 0.5150 121° sin= 0.8572 211° sin= -0.5150 301° sin= -0.8572
32° sin= 0.5299 122° sin= 0.8480 212° sin= -0.5299 302° sin= -0.8480
33° sin= 0.5446 123° sin= 0.8387 213° sin= -0.5446 303° sin= -0.8387
34° sin= 0.5592 124° sin= 0.8290 214° sin= -0.5592 304° sin= -0.8290
35° sin= 0.5736 125° sin= 0.8192 215° sin= -0.5736 305° sin= -0.8192
36° sin= 0.5878 126° sin= 0.8090 216° sin= -0.5878 306° sin= -0.8090
37° sin= 0.6018 127° sin= 0.7986 217° sin= -0.6018 307° sin= -0.7986
38° sin= 0.6157 128° sin= 0.7880 218° sin= -0.6157 308° sin= -0.7880
39° sin= 0.6293 129° sin= 0.7771 219° sin= -0.6293 309° sin= -0.7771
40° sin= 0.6428 130° sin= 0.7660 220° sin= -0.6428 310° sin= -0.7660
41° sin= 0.6561 131° sin= 0.7547 221° sin= -0.6561 311° sin= -0.7547
42° sin= 0.6691 132° sin= 0.7431 222° sin= -0.6691 312° sin= -0.7431
43° sin= 0.6820 133° sin= 0.7314 223° sin= -0.6820 313° sin= -0.7314
44° sin= 0.6947 134° sin= 0.7193 224° sin= -0.6947 314° sin= -0.7193
45° sin= 0.7071 135° sin= 0.7071 225° sin= -0.7071 315° sin= -0.7071
46° sin= 0.7193 136° sin= 0.6947 226° sin= -0.7193 316° sin= -0.6947
47° sin= 0.7314 137° sin= 0.6820 227° sin= -0.7314 317° sin= -0.6820
48° sin= 0.7431 138° sin= 0.6691 228° sin= -0.7431 318° sin= -0.6691
49° sin= 0.7547 139° sin= 0.6561 229° sin= -0.7547 319° sin= -0.6561
50° sin= 0.7660 140° sin= 0.6428 230° sin= -0.7660 320° sin= -0.6428
51° sin= 0.7771 141° sin= 0.6293 231° sin= -0.7771 321° sin= -0.6293
52° sin= 0.7880 142° sin= 0.6157 232° sin= -0.7880 322° sin= -0.6157
53° sin= 0.7986 143° sin= 0.6018 233° sin= -0.7986 323° sin= -0.6018
54° sin= 0.8090 144° sin= 0.5878 234° sin= -0.8090 324° sin= -0.5878
55° sin= 0.8192 145° sin= 0.5736 235° sin= -0.8192 325° sin= -0.5736
56° sin= 0.8290 146° sin= 0.5592 236° sin= -0.8290 326° sin= -0.5592
57° sin= 0.8387 147° sin= 0.5446 237° sin= -0.8387 327° sin= -0.5446
58° sin= 0.8480 148° sin= 0.5299 238° sin= -0.8480 328° sin= -0.5299
59° sin= 0.8572 149° sin= 0.5150 239° sin= -0.8572 329° sin= -0.5150
60° sin= 0.8660 150° sin= 0.5000 240° sin= -0.8660 330° sin= -0.5000
61° sin= 0.8746 151° sin= 0.4848 241° sin= -0.8746 331° sin= -0.4848
62° sin= 0.8829 152° sin= 0.4695 242° sin= -0.8829 332° sin= -0.4695
63° sin= 0.8910 153° sin= 0.4540 243° sin= -0.8910 333° sin= -0.4540
64° sin= 0.8988 154° sin= 0.4384 244° sin= -0.8988 334° sin= -0.4384
65° sin= 0.9063 155° sin= 0.4226 245° sin= -0.9063 335° sin= -0.4226
66° sin= 0.9135 156° sin= 0.4067 246° sin= -0.9135 336° sin= -0.4067
67° sin= 0.9205 157° sin= 0.3907 247° sin= -0.9205 337° sin= -0.3907
68° sin= 0.9272 158° sin= 0.3746 248° sin= -0.9272 338° sin= -0.3746
69° sin= 0.9336 159° sin= 0.3584 249° sin= -0.9336 339° sin= -0.3584
70° sin= 0.9397 160° sin= 0.3420 250° sin= -0.9397 340° sin= -0.3420
71° sin= 0.9455 161° sin= 0.3256 251° sin= -0.9455 341° sin= -0.3256
72° sin= 0.9511 162° sin= 0.3090 252° sin= -0.9511 342° sin= -0.3090
73° sin= 0.9563 163° sin= 0.2924 253° sin= -0.9563 343° sin= -0.2924
74° sin= 0.9613 164° sin= 0.2756 254° sin= -0.9613 344° sin= -0.2756
75° sin= 0.9659 165° sin= 0.2588 255° sin= -0.9659 345° sin= -0.2588
76° sin= 0.9703 166° sin= 0.2419 256° sin= -0.9703 346° sin= -0.2419
77° sin= 0.9744 167° sin= 0.2250 257° sin= -0.9744 347° sin= -0.2250
78° sin= 0.9781 168° sin= 0.2079 258° sin= -0.9781 348° sin= -0.2079
79° sin= 0.9816 169° sin= 0.1908 259° sin= -0.9816 349° sin= -0.1908
80° sin= 0.9848 170° sin= 0.1736 260° sin= -0.9848 350° sin= -0.1736
81° sin= 0.9877 171° sin= 0.1564 261° sin= -0.9877 351° sin= -0.1564
82° sin= 0.9903 172° sin= 0.1392 262° sin= -0.9903 352° sin= -0.1392
83° sin= 0.9925 173° sin= 0.1219 263° sin= -0.9925 353° sin= -0.1219
84° sin= 0.9945 174° sin= 0.1045 264° sin= -0.9945 354° sin= -0.1045
85° sin= 0.9962 175° sin= 0.0872 265° sin= -0.9962 355° sin= -0.0872
86° sin= 0.9976 176° sin= 0.0698 266° sin= -0.9976 356° sin= -0.0698
87° sin= 0.9986 177° sin= 0.0523 267° sin= -0.9986 357° sin= -0.0523
88° sin= 0.9994 178° sin= 0.0349 268° sin= -0.9994 358° sin= -0.0349
89° sin= 0.9998 179° sin= 0.0175 269° sin= -0.9998 359° sin= -0.0175
90° sin= 1.0000 180° sin= 0.0000 270° sin= -1.0000 360° sin= -0.0000

<center>test1.png</center>

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Podpiska-300x130.jpg

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

2.png

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

<math><mrow><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow><mrow><mo>гипотенуза</mo></mrow></mfrac></mrow></math>

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

<math><mrow><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow><mrow><mo>гипотенуза</mo></mrow></mfrac></mrow></math>

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

<math><mrow><mi>tg</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

<math><mrow><mi>ctg</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Рассмотрим прямоугольный треугольник , угол <math><mi>C</mi></math> равен <math><mn>90</mn><mo>°:</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>tg</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>ctg</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>tg</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>ctg</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math>

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках <math><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo></mrow></math> и <math><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo><mo>,</mo></mrow></math> ось <math><mi>y</mi></math> в точках <math><mrow><mo>(</mo><mo>;</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></math> и <math><mrow><mo>(</mo><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></math>

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> ось <math><mi>y</mi></math> и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами <math><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo><mo>,</mo></mrow></math> – то есть от положительного направления оси <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться <math><mi>S</mi></math> (от слова start). Отметим на окружности точку <math><mi>A</mi><mo>.</mo></math> Рассмотрим <math><mrow><mo>∠</mo><mi>S</mi><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>,</mo></mrow></math> обозначим его за <math><mrow><mi>α</mi><mo>.</mo></mrow></math> Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть <math><mrow><mo>∠</mo><mi>S</mi><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mo>∪</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>.</mo></mrow></math>

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки <math><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>x</mi></math> (точка <math><mi>B</mi><mo>)</mo></math> и на ось игрек (точка <math><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></math>

Отрезок <math><mi>O</mi><mi>B</mi></math> является проекцией отрезка <math><mi>O</mi><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> отрезок <math><mi>O</mi><mi>C</mi></math> является проекцией отрезка <math><mi>O</mi><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math>

Рассмотрим прямоугольный треугольник <math><mrow><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mo>:</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>O</mi><mi>B</mi></math>

<math><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>A</mi><mi>B</mi></math>

Поскольку <math><mrow><mi>O</mi><mi>C</mi><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></math> – прямоугольник, <math><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>C</mi><mi>O</mi><mo>.</mo></mrow></math>

Итак, косинус угла – координата точки <math><mi>A</mi></math> по оси <math><mi>x</mi></math> (ось абсцисс), синус угла – координата точки <math><mi>A</mi></math> по оси <math><mi>y</mi></math> (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол <math><mi>α</mi></math> – тупой, то есть больше <math><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo><mo>:</mo></mrow></math>

Опускаем из точки <math><mi>A</mi></math> перпендикуляры к осям <math><mi>x</mi></math> и <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math> Точка <math><mi>B</mi></math> в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси <math><mi>x</mi><mo>.</mo></math>Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку <math><mi>A</mi></math> по окружности, расположить ее в <math><mo>III</mo></math> или даже в <math><mo>IV</mo></math> четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от <math><mrow><mo>°</mo></mrow></math> до <math><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>.</mo></mrow></math> Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью <math><mi>x</mi><mo>.</mo></math>  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы <math><mrow><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>45</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>.</mo></mrow></math> Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось <math><mi>x</mi></math> и на ось <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math>

Координата по оси <math><mi>x</mi></math> – косинус угла, координата по оси <math><mi>y</mi></math> – синус угла.

Пример:

<math><mi>cos</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math>

<math><mi>sin</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math>

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

<math><mrow><menclose><mrow><msup><mrow><mi>sin</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></menclose></mrow></math>

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике <math><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>:</mo></mrow></math>

<math><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>O</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup></math>

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></math>

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>

<math><mrow><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>45</mn><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo></mrow></math>
<math><mrow><mi>sin</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math>
<math><mrow><mi>cos</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math>
<math><mrow><mi>tg</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math> <math><mrow><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mrow></math> <math><mrow><mo>нет</mo></mrow></math>
<math><mrow><mi>ctg</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mo>нет</mo></mrow></math> <math><mrow><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math>

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

<math><mi>sin</mi><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>30</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>45</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>45</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>60</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>30</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>45</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>45</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>60</mn><mo>°</mo></math>

Рассмотрим тупой угол <math><mi>β</mi></math>:

Для произвольного тупого угла <math><mrow><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow></math> всегда будут справедливы следующие равенства:

<math><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>tg</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>tg</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>ctg</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>ctg</mi><mi>α</mi></math>

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

<math><mrow><mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

<math><mrow><mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>R</mi></mrow></math>

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

<math><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></math>

<math><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></math>

<math><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></math>

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Используемые источники:

  • https://kvn201.com.ua/table-of-sines.htm
  • https://tab.wikimassa.org/tablitsa_sinusov
  • https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-1-trigonometriya/

Оставьте комментарий