Онлайн калькулятор. Векторное произведение векторов.

Содержание

Определение

Определение

Векторным произведением векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ является вектор $ overline{c} $, который расположен перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Само произведение обозначается как $ [overline{a},overline{b}] $, либо $ overline{a} times overline{b} $.

<center>vectornoe-proizvedenie.png</center>

Векторное произведение векторов, формула которого зависит от исходных данных задачи, можно найти двумя способами.

Формула

Формула 1

Если известен синус угла между векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $, то найти векторное произведение векторов можно по формуле:

$$ [overline{a},overline{b}] = |overline{a}| cdot |overline{b}| cdot sin (overline{a},overline{b}) $$

Формула 2

В случае когда векторы $ overline{a} $ и $ overline{b} $ заданы в координатной форме, то их произведение определяется по формуле:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} $$

где векторы $ overline{i},overline{j},overline{k} $ называются единичными векторами соответствующих осей $ Ox, Oy, Oz $.

Определитель во второй формуле можно раскрыть по первой строке:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = overline{i} (a_2 b_3 — a_3 b_2) — overline{j} (a_1 b_3 — a_3 b_1) + overline{k} (a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Итого вторая формула приобретает окончательный короткий вид:

$$ overline{a} times overline{b} = (a_2 b_3 — a_3 b_2; a_3 b_1 — a_1 b_3; a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Свойства

  1. При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный: $$ [overline{a},overline{b}] = -[overline{b},overline{a}] $$
  2. Вынос константы за знак произведения: $$ lambda [overline{a},overline{b}] = [lambda overline{a}, overline{b}] = [overline{a}, lambda overline{b}] $$
  3. $$ [overline{a}+overline{b}, overline{c}] = [overline{a},overline{c}] + [overline{b}, overline{c}] $$

Решение задач от 20 рубподробное написаниеКонтрольные работы от 120 рубподробное написание

Примеры решений

Пример 1

Найти векторное произведение векторов, заданных координатами

$$ overline{a} = (2,1,-3) $$ $$ overline{b} = (1,2,-1) $$

Решение

Составляем определитель, первая строка которого состоит из единичных векторов, а вторая и третья из координат векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ 2&1&-3\1&2&-1 end{vmatrix} = overline{i} (-1+6) — overline{j}(-2+3) + overline{k}(4-1) = 5overline{i} — overline{j} + 3overline{k} $$

Полученный ответ можно записать в удобном виде:

$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Геометрический смысл

  • Модуль векторного произведения векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ в геометрическом смысле равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: $$ S_{parall} = |overline{a} times overline{b}| $$
  • Половина этого модуля это площадь треугольника: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b} | $$
  • Если векторное произведение равно нулю $ overline{a} times overline{b} = 0 $, то векторы коллинеарны.

Решение задач от 20 рубподробное написаниеКонтрольные работы от 120 рубподробное написание 

Пример 2
Найти площадь треугольника по заданным векторам $$ overline{a} = (2,1,3) $$ $$ overline{b} = (-1,2,1) $$
Решение

Используя геометрический смысл, в частности вторую формулу находим половину модуля векторного произведения векторов.

Находим определитель:

$$ begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\2&1&3\-1&2&1 end{vmatrix} = overline{i}(1-6) — overline{j}(2+3) + overline{k}(4+1) = -5overline{i} — 5overline{j} + 5overline{k} $$

Вычисляем модуль полученного вектора как корень квадратный из суммы квадратов координат этого вектора:

$$ |overline{a} times overline{b}| = sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + 5^2} = sqrt{25 + 25 + 25} = sqrt{75} $$

По формуле нахождения площади треугольника имеем:

$$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b}| = frac{1}{2} sqrt{75} = 4.33 $$

Ответ
$$ S_Delta = 4.33 $$

Навигация по странице:Определение.Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

multiply.png
рис. 1

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b = <mfenced><mtable><mtr><mtd>i</mtd><mtd>j</mtd><mtd>k</mtd></mtr><mtr><mtd>ax</mtd><mtd>ay</mtd><mtd>az</mtd></mtr><mtr><mtd>bx</mtd><mtd>by</mtd><mtd>bz</mtd></mtr></mtable></mfenced> = i (aybz — azby) — j (axbz — azbx) + k (axby — aybx) a × b = {aybzazby; azbxaxbz; axbyaybx}

Свойства векторного произведения векторов

  • Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:Sпарал = [a × b]
  • Геометрический смысл векторного произведения. Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
    SΔ =  1 |a × b|
    2
  • Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
  • Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
  • a × b = —b × a
  • (ka) × b = a × (kb) = k (a × b)
  • (a + b) × c = a × c + b × c

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и b = {2; 1; -2}.

Решение:

a × b  i   j   k   =
 1   2   3 
 2   1   -2 

= i(2 · (-2) — 3 · 1) — j(1 · (-2) — 2 · 3) + k(1 · 1 — 2 · 2) = = i(-4 — 3) — j(-2 — 6) + k(1 — 4) = -7i + 8j — 3k = {-7; 8; -3} vector_triangle_area.pngПример 2. Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b  i   j   k   =
 -1   2   -2 
 2   1   -1 

= i(2 · (-1) — (-2) · 1) — j((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k((-1) · 1 — 2 · 2) = = i(-2 + 2) — j(1 + 4) + k(-1 — 4) = -5j — 5k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

SΔ = <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>|a × b| = <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>√2 + 52 + 52 = <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>√25 + 25 = <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>√50 = <mfrac><mn>5√2</mn><mn>2</mn></mfrac> = 2.5√2

Ответ: SΔ = 2.5√2.

ВектораВектор: определение и основные понятияОпределение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точкиМодуль вектора. Длина вектораНаправляющие косинусы вектораРавенство векторовОртогональность векторовКоллинеарность векторовКомпланарность векторовУгол между векторамиПроекция вектораСложение и вычитание векторовУмножение вектора на числоСкалярное произведение векторовВекторное произведение векторовСмешанное произведение векторовЛинейно зависимые и линейно независимые вектораРазложение вектора по базисуim274-345px-Cross_product_vector.svg.pngВекторное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве

Векторное произведение двух векторов в трёхмерномевклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площадипараллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой. Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Таким образом, для определения векторного произведения двух векторов необходимо задать ориентацию пространства, то есть сказать, какая тройка векторов является правой, а какая — левой. При этом не является обязательным задание в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат. В частности, при заданной ориентации пространства результат векторного произведения не зависит от того, является ли рассматриваемая система координат правой или левой. При этом формулы выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов в правой и левой ортонормированной прямоугольной системе координат отличаются знаком.

Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Оно является антикоммутативным и, в отличие от скалярного произведения векторов, результат является опять вектором.

Полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы коллинеарны.

Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения.

История

Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году[1] одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю[2].

Определение

Векторным произведением вектора <math><semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle {vec {a}}}</annotation></semantics></math>im274-563px-Parallelepiped_volume_-_dot_and_cross_products.svg.png

Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора b × c на a, первым шагом является нахождение векторного произведения (модуль которого равен площади одной из сторон), а вторым — нахождение скалярного произведения (которое равно объёму параллелепипеда)</span></p>

  • Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
  • Модуль векторного произведения <math><semantics><mrow><mstyle><mo>[</mo><mrow><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mrow><mo>]</mo></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]}</annotation></semantics></math>Векторы и матрицыВекторы</th>
    Основные понятия

    Эта страница в последний раз была отредактирована 27 декабря 2020 в 19:14.

    Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти векторное произведение двух векторов.

    Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление векторного произведения векторов и закрепить пройденый материал.

    Калькулятор для вычисления векторного произведения векторов

    Форма представления первого вектора: Форма представления второго вектора:

    Значения векторов.

    Первый вектор = {, , }

    Второй вектор

    = {, , }

    a × b

    Инструкция использования калькулятора для вычисления векторного произведения векторов

    Для того чтобы найти произведение векторное произведение векторов онлайн:

    • выберите из выпадающегося списка необходимую вам форму представления векторов;
    • введите значение векторов;
    • Нажмите кнопку «=» и вы получите детальное решение задачи.

    Ввод даных в калькулятор для вычесления векторного произведения векторов

    В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

    Дополнительные возможности калькулятора для вычисления векторного произведения векторов

    • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

    Теория. Векторное произведение векторов

    ОпределениеВекторное произведение двух векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить следующим образом:

    a × b =  i j k  = i (aybz — azby) — j (axbz — azbx) + k (axby — aybx)
     ax   ay   az 
     bx   by   bz 

    или

    a × b = {aybz — azby ; azbx — axbz ; axby — aybx}.Смотрите также справочник: векторное произведении векторов.

    Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

    1. Скалярное произведение векторов

    ОПРЕДЕЛЕНИЕСкалярным произведениемquicklatex.com-7625b606e541884f44c9071425caf804_l3.png (или quicklatex.com-a1e29906b70a386fe59dc041eafd283c_l3.png) двух векторов quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png и quicklatex.com-d7f521d9fa3749c875f9fe7d688124b2_l3.png называется число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла quicklatex.com-dd139ca9f44e6d9f8f0f116cb0412f94_l3.png между ними:

    quicklatex.com-1f84a9d32eb5c6d77ff5f3f6a9036a2b_l3.png

    ПРИМЕР

    Задание Найти скалярное произведение векторов quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png и quicklatex.com-d7f521d9fa3749c875f9fe7d688124b2_l3.png, если известно, что quicklatex.com-6eb6acd3e797270085c222e24987fdea_l3.png
    Решение Согласно определению, искомое скалярное произведение равно произведению модулей векторов, умноженных на косинус угла между ними:

    quicklatex.com-3bc99cc1e37b2a896276db8b0ea93dfd_l3.png

    Ответ quicklatex.com-642dc9803ffce8dd8a499d549610d923_l3.png

    Знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла quicklatex.com-dd139ca9f44e6d9f8f0f116cb0412f94_l3.png между векторами:

    1) Если угол между векторами острый quicklatex.com-3c2c61d7c024d33e8aa6e653811a2dca_l3.png и скалярное произведение также будет положительным.

    2) Если угол между векторами тупойquicklatex.com-e48dc2d734dee4b657d9610e2a88da96_l3.png и скалярное произведение отрицательно.

    Замечание. Имеют место и обратные утверждения:

    1.1) Если скалярное произведение quicklatex.com-b1078f88814536d74ba2aaf293eee8c4_l3.png0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />, то угол между векторами quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png и quicklatex.com-d7f521d9fa3749c875f9fe7d688124b2_l3.png острый.

    2.1) Если скалярное произведение quicklatex.com-8466c12344ee24381386c1a928b95299_l3.png, то скалярное произведение векторов равно нулю.

    Замечание. Обратное утверждение также верно:

    3.1) Если скалярное произведение двух векторов quicklatex.com-d5bf350808e6c562a6e2c578e30f8d27_l3.png, то угол между векторами равен quicklatex.com-0f36d7aa598561cded7e394762647cd8_l3.png, то есть векторы ортогональны.

    Критерий ортогональности векторов. Скалярное произведение quicklatex.com-a1e29906b70a386fe59dc041eafd283c_l3.png двух векторов quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png и quicklatex.com-d7f521d9fa3749c875f9fe7d688124b2_l3.png равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны:

    quicklatex.com-6bccea623c8019f385fe47001190e116_l3.png

    Свойства скалярного произведения

    1. Скалярный квадрат quicklatex.com-9b77a9a2d6b7bc4292579d670b508a12_l3.png вектора quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png равен квадрату длины данного вектора:

    quicklatex.com-a0c88e83b6dd8f87ec6b62008540d3d6_l3.png

    Замечание. Из последнего равенства имеем, что модуль вектора

    quicklatex.com-868efd50b415f791b43757550f1986a7_l3.png

    2. quicklatex.com-2e1aa012a0cad77880cb783ab6ad0b53_l3.png.

    3. quicklatex.com-c7d577ff05f38e89f58a8813be81167f_l3.png.

    4. quicklatex.com-4eda7de50f37e5f8f780854b159e59ff_l3.png.

    ПРИМЕР

    Задание Найти скалярное произведение векторов quicklatex.com-b33d8a7ac6ef56c25783a534fb12d8cf_l3.png, если quicklatex.com-aca185fc282c75f43496f90d544126dd_l3.png, quicklatex.com-13efcd36202be3c1c986b29681dc6000_l3.png
    Решение Искомое скалярное произведение, с учетом выше приведенных свойств, равно

    quicklatex.com-91f2467fca8ffada8581fcf5571bee02_l3.png

    quicklatex.com-01cc677144f9124e97145900fff6d0f4_l3.png

    quicklatex.com-872232b489c60dd242f9075128033b5f_l3.png

    quicklatex.com-50d10e36774696122ac0720cad6e3631_l3.png

    quicklatex.com-c10d6ad39db28c43749294dac4a94441_l3.png

    Ответ quicklatex.com-235246f381fd365b0f3f2c2d9d8efb81_l3.png

    ПРИМЕР

    Задание Найти модуль вектора quicklatex.com-03a2356b86508d03932ec996c9342ca7_l3.png, если quicklatex.com-49cb0ed165fade6730d634d7b72f0eb7_l3.png
    Решение Известно, что длина вектора равна корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора, то есть тогда

    quicklatex.com-2fbe032f7b9f56fb10cbc706434e71d8_l3.png

    quicklatex.com-92d851540f350eb331a8ed77fe4e1827_l3.png

    quicklatex.com-50ae7e450c11a8f1972e2b7b3e917f39_l3.png

    Ответ quicklatex.com-080ee85d4659ca8976143e4bf843c76c_l3.png

    Скалярное произведение векторов quicklatex.com-6c2bd646b9d40f75ceba89851ef0885a_l3.png и quicklatex.com-d8b87e7b66acf4f11aa098a2941ef79e_l3.png, заданных в некотором ортонормированном базисе своими координатами, равно сумме произведений их соответствующих координат:

    quicklatex.com-13ee7fe301ef1d934828ea3bf780746e_l3.png

    ПРИМЕР

    Задание Найти скалярное произведение векторов quicklatex.com-40ec701542acf88158a5a3f9583e2375_l3.png и quicklatex.com-6d8a174e1443d476baff28bd8ebbb028_l3.png.
    Решение Скалярное произведение двух векторов есть число, равное сумме произведений их соответствующих координат, то есть

    quicklatex.com-4cb64b8200f948a66147bbf55bb5bbac_l3.png

    Ответ quicklatex.com-4db09fe37838881be2ccd5175674b851_l3.png.

    2. Векторное произведение векторов

    ОПРЕДЕЛЕНИЕВекторным произведениемquicklatex.com-4929b90c8e0b53c7114c7cb23cdec17a_l3.png (или quicklatex.com-b3000293a0c845cdc3181ca3e559c1f2_l3.png) двух неколлинеарных векторов quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png и quicklatex.com-d7f521d9fa3749c875f9fe7d688124b2_l3.png называется вектор quicklatex.com-e8de29987bf6c3c1448c45c392dc0434_l3.png, ортогональный векторам quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png и quicklatex.com-d7f521d9fa3749c875f9fe7d688124b2_l3.png, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах (рис. 1):

    quicklatex.com-8e719f576f9b6fc4891225df2b1ce146_l3.png

    где quicklatex.com-dd139ca9f44e6d9f8f0f116cb0412f94_l3.png.

    pic1936.png

    Замечание. Вектор quicklatex.com-e8de29987bf6c3c1448c45c392dc0434_l3.png направлен так, что тройка векторов quicklatex.com-0cf5c623611f0a4df2d0ca9d7cb19f91_l3.png правая.

    Замечание. Площадь треугольника, построенного на векторах quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png и quicklatex.com-d7f521d9fa3749c875f9fe7d688124b2_l3.png, вычисляется по формуле:

    quicklatex.com-4aa65aacd4b75b3fca980ccb2f20372a_l3.png

    Утверждение. Если векторы quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png и quicklatex.com-d7f521d9fa3749c875f9fe7d688124b2_l3.png коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.

    ПРИМЕР

    Задание Найти длину векторного произведения векторов quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png и quicklatex.com-d7f521d9fa3749c875f9fe7d688124b2_l3.png, если известно, что quicklatex.com-aea5cafd1ba145b4c5001a8d24b7b721_l3.png
    Решение Согласно определению, модуль векторного произведения двух векторов равен произведению модулей этих векторов на синус угла между ними, то есть

    quicklatex.com-6e9ae012a00b778418613558d896881f_l3.png

    Ответ quicklatex.com-c97b55a29fb6a736e0fbea4cb3543f97_l3.png

    Свойства векторного произведения векторов

    1. quicklatex.com-84834218e43ed7535d080215a942d7d9_l3.png.

    2. quicklatex.com-4fdc02f5f87d81a09e381232112c75c4_l3.png.

    3. quicklatex.com-59abd5f1f5d30686f0652b213fef2359_l3.png.

    4. quicklatex.com-bd157e3f882c6a1a5f1342419018a120_l3.png.

    ПРИМЕР

    Задание Найти длину вектора quicklatex.com-62bc7d70bfaa0809c37765bb638899a3_l3.png, если quicklatex.com-a7a4deb2792578a93e42b1bba4cb016f_l3.png
    Решение Вектор, модуль которого надо найти, представляет собой векторное произведение. Упростим его выражение по свойствам:

    quicklatex.com-a1bd61004015f10f688b46b284818242_l3.png

    Тогда искомая длина по определению векторного произведения:

    quicklatex.com-77bb06b78e0482faefadaa02d62137d2_l3.png

    quicklatex.com-95e8c01eabf4779bb9b571c761fbe05a_l3.png

    Ответ quicklatex.com-4701bc884abcb5a96a5cd1ba9d6029a4_l3.png

    ПРИМЕР

    Задание Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах quicklatex.com-a2758dfc87608d7dd75c32bdb205094b_l3.png и quicklatex.com-04bebb977cf5e36b9e22438b9fd5d1ad_l3.png, если quicklatex.com-50ab34465ddb523613ffc4476e459d42_l3.png
    Решение Площадь треугольника, построенного на векторах quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png и quicklatex.com-d7f521d9fa3749c875f9fe7d688124b2_l3.png, вычисляется по формуле:

    quicklatex.com-0f17eea7b662334b604f7f8298135413_l3.png

    Вначале найдем векторное произведение quicklatex.com-b3000293a0c845cdc3181ca3e559c1f2_l3.png:

    quicklatex.com-76fe66bfb4accf8f853f7870210bdd67_l3.png

    quicklatex.com-32880652a0e8cca05919e41a3539e19d_l3.png

    quicklatex.com-c1aef5bd8006297f723b019b2c750ebe_l3.png

    Тогда искомая площадь:

    (кв. ед.).

    Ответ quicklatex.com-978bc32305e5c4f7790beb15999616e3_l3.png (кв. ед.)

    Если векторы quicklatex.com-5e87b82c42bcc7779890d58fe1c5b1f2_l3.png и quicklatex.com-1d3fdbc97626fe607a9fe8b1261d9bcf_l3.png заданны своими координатами в некотором ортонормированном базисе, то их векторное произведение выражается формулой:

    quicklatex.com-6e65f17d7dadaeb04eb634ba2a3de56d_l3.png

    quicklatex.com-2f6a29cecac6f3bdb8e698d60cc778ec_l3.png

    quicklatex.com-e7a44f6f9722bd314f52405f5ebdc121_l3.png

    ПРИМЕР

    Задание Вычислить модуль векторного произведения векторов quicklatex.com-8b6fd3c7acc57d49e0d7b451dc1de65a_l3.png и quicklatex.com-7e940f1679e4a8919bbcf86ccbf09de6_l3.png
    Решение Вначале найдем векторное произведение заданных векторов:

    quicklatex.com-fba481c6c782223a2aaa01b92f14a2a0_l3.png

    Длина полученного вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

    quicklatex.com-15e9194dbe4fa755f2dee979b2692cdc_l3.png

    Ответ quicklatex.com-60739ecc21f8952db43adb4f352f7dae_l3.png

    3. Смешанное произведение векторов

    ОПРЕДЕЛЕНИЕСмешанным произведением quicklatex.com-cc3f9fb64ff710254d287eaae3485172_l3.png трех некомпланарных векторов quicklatex.com-9cdbc353bac1a96db85d06dbc565aa61_l3.png и quicklatex.com-e8de29987bf6c3c1448c45c392dc0434_l3.png называется число, равное скалярному произведению вектора quicklatex.com-fe1873673f14d894d2af4275a44d96fb_l3.png на векторное произведение векторов quicklatex.com-d7f521d9fa3749c875f9fe7d688124b2_l3.png и quicklatex.com-e8de29987bf6c3c1448c45c392dc0434_l3.png:

    quicklatex.com-2ec3da7e3670a50e4f59d87fc7e0122a_l3.png

    Замечание. Если векторы quicklatex.com-9cdbc353bac1a96db85d06dbc565aa61_l3.png и quicklatex.com-e8de29987bf6c3c1448c45c392dc0434_l3.png компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

    Геометрически смешанное произведение quicklatex.com-cc3f9fb64ff710254d287eaae3485172_l3.png векторов quicklatex.com-9cdbc353bac1a96db85d06dbc565aa61_l3.png и quicklatex.com-e8de29987bf6c3c1448c45c392dc0434_l3.png равно модулю объёма параллелепипеда, построенного на данных векторах:

    quicklatex.com-54fcb8e266050219fb865d129d7a82ea_l3.png

    Объём тетраэдра (правильной пирамиды), построенного на трех векторах quicklatex.com-9cdbc353bac1a96db85d06dbc565aa61_l3.png и quicklatex.com-e8de29987bf6c3c1448c45c392dc0434_l3.png, равен одной шестой объёма параллелепипеда:

    quicklatex.com-554b0dc86c95b8a0e3fdec8d892df2ff_l3.png

    В случае, когда векторы quicklatex.com-9cdbc353bac1a96db85d06dbc565aa61_l3.png и quicklatex.com-e8de29987bf6c3c1448c45c392dc0434_l3.png заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе: quicklatex.com-28e38d1ad9f948f8d75662195c3f183a_l3.png, их смешанное произведение вычисляется по формуле:

    quicklatex.com-830bfe1c9cd0508ab7da5a7241f57a7b_l3.png

    Свойства смешанного произведения

    1. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак:

    quicklatex.com-0af43a94ee464384c317fba8f30f14fe_l3.png

    2. При циклической перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

    quicklatex.com-b881baeeb0ab071fbc26fe505b5f4ae3_l3.png

    3. Если тройка векторов quicklatex.com-9cdbc353bac1a96db85d06dbc565aa61_l3.png и quicklatex.com-e8de29987bf6c3c1448c45c392dc0434_l3.png правая, то смешанное произведение quicklatex.com-cc3f9fb64ff710254d287eaae3485172_l3.png положительно. Если тройка левая, то смешанное произведение quicklatex.com-cc3f9fb64ff710254d287eaae3485172_l3.png отрицательно.

    ПРИМЕР

    Задание Заданы три вектора quicklatex.com-4d4f69df2dbf245da7e37dfa00334bbc_l3.png и quicklatex.com-e8cbee25a7f7bc0f7eee92eb7b212304_l3.png. Вычислить объём тетраэдра, построенного на этих векторах.
    Решение Искомый объем равен

    quicklatex.com-05e03bf49d8b8021e600d3b14831a709_l3.png

    Поэтому вначале вычислим смешанное произведение заданных векторов quicklatex.com-9cdbc353bac1a96db85d06dbc565aa61_l3.png и quicklatex.com-e8de29987bf6c3c1448c45c392dc0434_l3.png:

    quicklatex.com-8a564826db573db84f94db361af5bd01_l3.png

    quicklatex.com-fd26015f1b3bae408ef4be94aaf692d2_l3.png

    Тогда искомый объем

    quicklatex.com-29c0d833e0927389251e2d1367b7f921_l3.png (куб. ед.).

    Ответ quicklatex.com-68762523c9e305fdb2d27efcf6474be0_l3.png (куб. ед.)

    Используемые источники:

    • https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/vektornoe-proizvedenie-vektorov.html
    • https://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/
    • https://wiki2.org/ru/векторное_произведение
    • https://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/multiply1/
    • http://ru.solverbook.com/spravochnik/vektory/proizvedeniya-vektorov/

    </td></tr>

Оставьте комментарий