Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа

(уравнение Менделеева – Клапейрона).

Уравнением состояния называется уравнение, связывающее параметры физической системы и однозначно определяющее ее состояние.

В 1834 г. французский физик Б.  Клапейрон, работавший дли тельное время в Петербурге, вывел уравнение состояния идеаль­ного газа для постоянной массы газа. В 1874 г. Д. И. Менделеев вывел уравнение для произвольного числа молекул.

В МКТ и термодинамике идеального газа макроскопическими параметрами являются: p, V, T, m.

Мы знаем, что . Следовательно, . Учитывая, что , получим: .

Произведение постоянных величин есть величина постоянная, следовательно:  — универсальная газовая постоянная (универсальная, т.к. для всех газов одинаковая).

Таким образом, имеем:

 — уравнение состояния (уравнение Менделеева – Клапейрона).

Другие формы записи уравнения состояния идеального газа.

1.Уравнение для 1 моля вещества.

Если n=1 моль, то, обозначив объем одного моля Vм, получим: .

Для нормальных условий получим: 

2. Запись уравнения через плотность: — плотность зависит от температуры и давления!

3.  Уравнение Клапейрона.

Часто необходимо исследовать ситуацию, когда меняется состояние газа при его неизменном количестве (m=const) и в отсутствие химических реакций (M=const). Это означает, что количество вещества n=const. Тогда:                    

Эта запись означает, что  для данной массы данного газа справедливо равенство: 

Для постоянной массы идеального газа отношение произве­дения давления на объем к абсолютной  температуре в данном состоянии есть величина постоянная: .

Газовые законы.

1.      Закон Авогадро.

В равных объемах различных газов при одинаковых внешних условиях находится одинаковое число молекул (атомов).

Условие: V1=V2=…=Vn;  p1=p2=…=pn; T1=T2=…=Tn

 Доказательство:

Следовательно, при одинаковых условиях (давление, объем, температура) число молекул не зависит от природы газа и одинаково.                

2.      Закон Дальтона.

Давление смеси газов равно сумме парциальных (частных) давлений каждого газа.

Доказать: p=p1+p2+…+pn

Доказательство: 

3.      Закон Паскаля.

Давление, производимое на жидкость или газ, передается во все стороны без изменения.

Содержание

Тест: 4 вопроса 1. При повышении температуры газа внутри цилиндра происходит:сужение газарасширение газасужение, затем расширение газаостается неизменным 2. Уравнение Б.П.Э. Клапейрона:рV=BTp=BTV=BTpV=T 3. Переход от начального к конечному состоянию газа осуществляется с помощью процессов:адиабатического и изобарногоизобарного и изохорногоадиабатического и изохорногоизобарного и изотермического 4. Работа газа внутри цилиндра при повышении температуры происходит в процессе:изотермическомизохорномадиабатическомизобарическом

На практике часто встречаются такие изменения состояния газа, когда одновременно изменяются все три параметра – объем <math><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation>V</annotation></semantics></math>V, давление <math><semantics><mrow><mi>p</mi></mrow><annotation>p</annotation></semantics></math>p и температура <math><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation>T</annotation></semantics></math>T. В таких случаях зависимость между параметрами определяется уравнением состояния газа.

Рассмотрим процесс, в результате которого газ перешел из нормального состояния с параметрами <math><semantics><mrow><msub><mi>V</mi></msub></mrow><annotation>V_0</annotation></semantics></math>V, <math><semantics><mrow><msub><mi>p</mi></msub></mrow><annotation>p_0</annotation></semantics></math>p, <math><semantics><mrow><msub><mi>T</mi></msub></mrow><annotation>T_0</annotation></semantics></math>T в состояние с другими параметрами <math><semantics><mrow><msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation>V_1</annotation></semantics></math>V1, <math><semantics><mrow><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation>p_1</annotation></semantics></math>p1, <math><semantics><mrow><msub><mi>T</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation>T_1</annotation></semantics></math>T1.

Такой переход от начального к конечному состоянию газа можно осуществить с помощью двух известных процессов (например, сначала изобарического, а затем изотермического) по схеме:

<math><semantics><mrow><mi>I</mi><mi>.</mi><msub><mi>V</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>p</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>T</mi></msub><mo>;</mo><msup><mi>V</mi><mo>′</mo></msup><mo>,</mo><msub><mi>p</mi></msub><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>;</mo><msup><mi>V</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><msub><mi>V</mi></msub><mfrac><mi>T</mi><msub><mi>T</mi></msub></mfrac></mrow><annotation>I.{{V}_{0}},{{p}_{0}},{{T}_{0}};{V}’,{{p}_{0}},T;{V}’={{V}_{0}}frac{T}{{{T}_{0}}}</annotation></semantics></math>I.V,p,T;V,p,T;V=VTT

<math><semantics><mrow><mi>I</mi><mi>I</mi><mi>.</mi><msup><mi>V</mi><mo>′</mo></msup><mo>,</mo><msub><mi>p</mi></msub><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>;</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>;</mo><msub><mi>p</mi></msub><msup><mi>V</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>V</mi></mrow><annotation>II.{V}’,{{p}_{0}},T;V,p,T;{{p}_{0}}{V}’=pV</annotation></semantics></math>II.V,p,T;V,p,T;pV=pV

Исключив из двух полученных уравнений объем <math><semantics><mrow><msup><mi>V</mi><mo>′</mo></msup></mrow><annotation>V'</annotation></semantics></math>V для промежуточного состояния газа, получим

<math><semantics><mrow><mfrac><mrow><mi>p</mi><mi>V</mi></mrow><mi>T</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>p</mi></msub><msub><mi>V</mi></msub></mrow><msub><mi>T</mi></msub></mfrac></mrow><annotation>frac{pV}{T}=frac{{{p}_{0}}{{V}_{0}}}{{{T}_{0}}}</annotation></semantics></math>TpV=TpV

то есть получим уравнение:

<math><semantics><mrow><mi>p</mi><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>В</mi><mi>Т</mi></mrow><annotation>pV = ВТ</annotation></semantics></math>pV=ВТ.

Это уравнение вывел французский ученый Б. П. Э. Клапейрон в 1834 году. Постоянная <math><semantics><mrow><mi>B</mi></mrow><annotation>B</annotation></semantics></math>B в нем – постоянная зависимости от природы газа и его количества. Эту постоянную, рассчитанную для единицы массы газа, называют удельной газовой постоянной <math><semantics><mrow><msub><mi>B</mi></msub></mrow><annotation>B_0</annotation></semantics></math>B.

Пример 1.

В качестве примера вычислим удельный газовую постоянную для воздуха. Объем 1 кг воздуха – удельный объем воздуха в нормальных условиях (давление 1,013 · 105 Па и температура 273,15 К)

<math><semantics><mrow><msub><mi>V</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>ρ</mi></msub></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>293</mn></mrow></mfrac><mo>(</mo><mfrac><msup><mi>м</mi><mn>3</mn></msup><mrow><mi>к</mi><mi>г</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><annotation>{{V}_{0}}=frac{1}{{{rho }_{0}}}=frac{1}{1,293}(frac{{{м}^{3}}}{кг})</annotation></semantics></math>V=ρ1=1,2931(кгм3)

Отсюда:

<math><semantics><mrow><msub><mi>B</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>p</mi></msub><msub><mi>V</mi></msub></mrow><msub><mi>T</mi></msub></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>p</mi></msub><msub><mi>V</mi></msub></mrow><mn>273</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>013</mn><mo>⋅</mo><msup><mn>10</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>293</mn><mo>⋅</mo><mn>273</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>287</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>Д</mi><mi>ж</mi></mrow><mrow><mi>к</mi><mi>г</mi><mo>⋅</mo><mi>К</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><annotation>{{B}_{0}}=frac{{{p}_{0}}{{V}_{0}}}{{{T}_{0}}}=frac{{{p}_{0}}{{V}_{0}}}{273}=frac{1,013cdot {{10}^{5}}}{1,293cdot 273}=287,1(frac{Дж}{кгcdot К})</annotation></semantics></math>B=TpV=273pV=1,2932731,1315=287,1(кгКДж)

Аналогично вычислено, что удельная газовая постоянная для водорода равна 4125, для кислорода – 295,7; для азота – 296,7 Дж / (кг · К) и т. д.

В 1874 г. русский химик Д. И. Менделеев, воспользовавшись законом Авогадро, предоставил уравнение Клапейрона в более удобном для использования виде. При этом оказалось целесообразным рассчитывать постоянную для газов, взятых в количестве 1 моль или 1 кмоль:

<math><semantics><mrow><msub><mi>R</mi><mi>m</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>p</mi></msub><msub><mi>V</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><msub><mi>T</mi></msub></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>013</mn><mo>⋅</mo><msup><mn>10</mn><mn>5</mn></msup><mo>⋅</mo><mo>,</mo><mn>0224</mn></mrow><mn>273</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>8</mn><mo>,</mo><mn>31</mn><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>Д</mi><mi>ж</mi></mrow><mrow><mi>м</mi><mi>о</mi><mi>л</mi><mi>ь</mi><mo>⋅</mo><mi>K</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><annotation>{{R}_{m}}=frac{{{p}_{0}}{{V}_{0m}}}{{{T}_{0}}}=frac{1,013cdot {{10}^{5}}cdot 0,0224}{273}=8,31(frac{Дж}{мольcdot K})</annotation></semantics></math>Rm=TpVm=2731,1315,224=8,31(мольKДж)

Постоянную <math><semantics><mrow><msub><mi>R</mi><mi>m</mi></msub></mrow><annotation>R_m</annotation></semantics></math>Rm (или просто <math><semantics><mrow><mi>R</mi></mrow><annotation>R</annotation></semantics></math>R) называют универсальной газовой постоянной. Уравнение состояния в расчете на 1 моль идеального газа имеет вид, аналогичный уравнению Клапейрона:

<math><semantics><mrow><mi>p</mi><mi>V</mi><mo>=</mo><msub><mi>R</mi><mi>m</mi></msub><mi>T</mi></mrow><annotation>pV={{R}_{m}}T</annotation></semantics></math>pV=RmT

В таком виде уравнения состояния идеального газа называют уравнением Клапейрона-Менделеева.

Кроме единицы количества вещества – моль – разрешается применять кратные и дольные от ее величины. В пересчете на кмоль <math><semantics><mrow><mi>R</mi></mrow><annotation>R</annotation></semantics></math>R составит:

<math><semantics><mrow><mi>R</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>013</mn><mo>⋅</mo><msup><mn>10</mn><mn>5</mn></msup><mo>⋅</mo><mn>22</mn><mo>,</mo><mn>4</mn></mrow><mn>273</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>8</mn><mo>,</mo><mn>31</mn><mo>⋅</mo><msup><mn>10</mn><mn>3</mn></msup><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>Д</mi><mi>ж</mi></mrow><mrow><mi>к</mi><mi>м</mi><mi>о</mi><mi>л</mi><mi>ь</mi><mo>⋅</mo><mi>K</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><annotation>R=frac{1,013cdot {{10}^{5}}cdot 22,4}{273}=8,31cdot {{10}^{3}}(frac{Дж}{кмольcdot K})</annotation></semantics></math>R=2731,131522,4=8,3113(кмольKДж)

В расчете на 1 кмоль идеального газа уравнение записывают так:<math><semantics><mrow><mi>p</mi><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>R</mi><mi>T</mi></mrow><annotation>pV = RT</annotation></semantics></math>pV=RT,

а для любой массы <math><semantics><mrow><mi>m</mi></mrow><annotation>m</annotation></semantics></math>m – так:

<math><semantics><mrow><mi>p</mi><mi>V</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>m</mi><mi>μ</mi></mfrac><mi>R</mi><mi>T</mi></mrow><annotation>pV=frac{m}{mu }RT</annotation></semantics></math>pV=μmRT

где <math><semantics><mrow><mi>μ</mi></mrow><annotation>μ</annotation></semantics></math>μ – масса, которую имеет кмоль газа.

Для удобства расчетов преимущественно пользуются именно этой формой уравнения.

По данному уравнению легко находим зависимость плотности газа от давления и температуры, а именно:

<math><semantics><mrow><mfrac><mi>m</mi><mi>V</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>R</mi><mi>T</mi></mrow></mfrac></mrow><annotation>frac{m}{V}=frac{mu p}{RT}</annotation></semantics></math>Vm=RTμp,

<math><semantics><mrow><mi>ρ</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>R</mi><mi>T</mi></mrow></mfrac></mrow><annotation>rho =frac{mu p}{RT}</annotation></semantics></math>ρ=RTμp

Таковы в общем виде эмпирические закономерности в свойствах идеального газа.

Для выяснения физической сути постоянной <math><semantics><mrow><mi>R</mi></mrow><annotation>R</annotation></semantics></math>R представим 1 кмоль газа под поршнем в некоем цилиндре:

%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D0%B9%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0-%D0%9C%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%B0-3b1904bd01b8cfff7dff038db1bfaa94.png

При этом давление в нем составляет <math><semantics><mrow><mi>р</mi></mrow><annotation>р</annotation></semantics></math>р, температура – <math><semantics><mrow><mi>Т</mi></mrow><annotation>Т</annotation></semantics></math>Т, а площадь поршня <math><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation>S</annotation></semantics></math>S.

Повысим температуру газа внутри цилиндра от <math><semantics><mrow><mi>Т</mi></mrow><annotation>Т</annotation></semantics></math>Т до (<math><semantics><mrow><mi>Т</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mi>К</mi></mrow><annotation>Т + 1 К</annotation></semantics></math>Т+1К). Газ расширяется и выполняет работу, поднимая поршень на высоту <math><semantics><mrow><mi>h</mi></mrow><annotation>h</annotation></semantics></math>h. Эта работа составит:

<math><semantics><mrow><mi>А</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>S</mi><mi>h</mi></mrow><annotation>А = pSh</annotation></semantics></math>А=pSh,

но <math><semantics><mrow><mi>S</mi><mi>h</mi><mo>=</mo><mi>Δ</mi><mi>V</mi></mrow><annotation>Sh = ΔV</annotation></semantics></math>Sh=ΔV – прирост объема газа при расширении; поэтому <math><semantics><mrow><mi>А</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>Δ</mi><mi>V</mi></mrow><annotation>А = pΔV</annotation></semantics></math>А=pΔV.

Данное выражение определяет работу газа в изобарическом процессе.

Применив уравнение Клапейрона-Менделеева к начальному и конечному состояниям газа, получим:

<math><semantics><mrow><mi>p</mi><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>R</mi><mi>T</mi><mo>;</mo><mi>p</mi><msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mi>R</mi><mo>(</mo><mi>T</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mi>K</mi><mo>)</mo></mrow><annotation>pV=RT;p{{V}_{1}}=R(T+1K)</annotation></semantics></math>pV=RT;pV1=R(T+1K)

Отняв от второго уравнения первое, получим:

<math><semantics><mrow><mi>p</mi><mo>(</mo><msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub><mo>−</mo><mi>V</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>R</mi><mo>;</mo><mi>R</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>Δ</mi><mi>V</mi></mrow><annotation>p({{V}_{1}}-V)=R;R=pDelta V</annotation></semantics></math>p(V1V)=R;R=pΔV

Сопоставим данное равенство с уравнением работы по подъему и найдем, что <math><semantics><mrow><mi>R</mi><mo>=</mo><mi>А</mi></mrow><annotation>R = А</annotation></semantics></math>R=А, то есть универсальная газовая постоянная численно равна работе расширения одного кмоль газа при изобарическом нагревании на <math><semantics><mrow><mn>1</mn><mi>К</mi></mrow><annotation>1 К</annotation></semantics></math>1К.

Тест по теме: “Уравнение Клапейрона-Менделеева”

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Для того чтобы формулы и законы в физике были более простыми для понимания и использования применяют разного рода модели и упрощения. Такой моделью является идеальный газ. Модель в науке – это упрощенная копия реальной системы.

Модель отражает наиболее существенные характеристики и свойства процессов и явлений. В модели идеального газа учитываются только основные свойства молекул, которые требуются для того, чтобы объяснить основы поведения газа. Идеальный газ напоминает реальный газ в довольно узком интервале давлений (p) и температур (T).

Самым важным упрощением идеального газа является то, что кинетическая энергия молекул считается гораздо большей, чем потенциальная энергия их взаимодействия. Столкновения молекул газа описывают при помощи законов упругого соударения шаров. Движение молекул считают прямолинейными в промежутках между столкновениями. Эти допущения позволяют получить специальные уравнения, которые называют уравнениям состояния идеального газа. Данные уравнения можно применять к описанию состояний реального газа при невысоких температурах и давлениях. Уравнения состояния и можно назвать формулами для идеального газа. Приведем также другие основные формулы, которые используют при исследовании поведения и свойств идеального газа.

Уравнения состояния идеального

Уравнение Менделеева — Клапейрона

quicklatex.com-ca00e9b4b44a25ecfcf270c32aeef85f_l3.png

где p – давление газа; V – объем газа; T — температура газа по шкале Кельвина; m – масса газа; – молярная масса газа; quicklatex.com-454fa52bde4ac899c13e4440aa99cd1e_l3.png— универсальная газовая постоянная.

Уравнением состояния идеального газа так же является выражение:

quicklatex.com-b9df1898f167c9f7dd6a8318f506ae32_l3.png

где n – концентрация молекул газа в рассматриваемом объеме; .

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

При помощи такой модели, как идеальный газ, получают основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) (3). Которое говорит о том, что давление газа -это результат огромного числа ударов его молекул о стенки сосуда, в котором газ находится.

где — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа; — концентрация молекул газа (N – число молекул газа в сосуде; V – объем сосуда); – масса молекулы газа; – среднеквадратичная скорость молекулы.

Внутренняя энергия идеального газа

Так как в идеальном газе принимают потенциальную энергию взаимодействия молекул равной нулю, то внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий молекул:

где i – число степеней свободы молекулы идеального газа; – число Авогадро; – количество вещества. Внутренняя энергия идеального газа определена его термодинамической температурой (T) и пропорциональна массе.

Работа идеального газа

Для идеального газа в изобарном процессе () работу вычисляют при помощи формулы:

В изохорном процессе работа газа равна нулю, так как изменения объема нет:

Для изотермического процесса ():

Для адиабатного процесса () работа равна:

где i – число степеней свободы молекулы газа.

Примеры решения задач по теме «Идеальный газ»

ПРИМЕР 1

Задание Какова плотность смеси идеальных газов при температуре T и давлении p, если масса одного газа его молярная масса , масса второго газа молярная масса ?
Решение По определению плотность однородного вещества () это:

где m – масса всего вещества; V – его объем. Масса смеси газов находится как сумма отдельных компонент смеси:

Осталось найти объем, который занимает смесь газов при заданных условиях. Для этого запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для смеси:

где количество вещества смеси () найдем как:

Выразим объем смеси, учитывая (1.4):

Подставим формулы (1.2) и (1.5) в (1.1), получим:

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание Выберите из перечисленных ниже процессов, какому процессу в идеальном газе соответствует график, изображенный на рис.1? Изохорному, изобарному, адиабатному.
Решение Внутренняя энергия идеального газа определяется как:

Она для любого процесса пропорциональная температуре. При постоянной массе одного и того же газа в изохорном, адиабатном и изобарном процессах мы получим график, изображенный на рис.1

Определение и формула уравнения Менделеева-Клапейpона

Если рассматривать некоторое количество газа, то эмпирически получено, что давление (), объем () и температура () полностью характеризуют эту массу газа как термодинамическую систему, если данный газ можно представить в виде совокупности нейтральных молекул, не имеющих дипольных моментов. В состоянии термодинамического равновесия связаны между собой уравнением состояния.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение состояния газа в виде:

(где — масса газа; — молярная масса газа; Дж/Моль•К — универсальная газовая постоянная; температура воздуха в Кельвинах: ) было впервые получено Менделеевым.

Его легко получить из уравнения Клапейpона:

учитывая, что в соответствии с законом Авогадро один моль любого газа при нормальных условиях занимает объем л. При этом получается, что:

Уравнение (1) называют уравнением Менделеева-Клапейpона. Иногда его записывают как:

где — количество вещества (число молей газа).

Уравнение Менделеева-Клапейpона получено на основе установленных эмпирически газовых законов. Так же как и газовые законы, уравнение Менделеева-Клапейpона является приближенным. Для разных газов границы применимости данного уравнения различны. Например, для гелия уравнение (1) справедливо в более широком диапазоне температур, чем для углекислого газа. Абсолютно точным уравнение Менделеева-Клапейpона является для идеального газа. Особенностью которого, является то, что его внутренняя энергия пропорциональна абсолютной температуре и не зависит от объема, который газ занимает.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Температуру воздуха в комнате повысили от до Как при таких условиях изменится плотность воздуха в помещении ()? Тепловым расширением стен пренебречь.
Решение Если тепловым расширением стен можно пренебречь, то объем комнаты не изменяется. В том, случае, если воздух нагревается при постоянном объеме давление должно расти с увеличением температуры, при этом его плотность не изменяется. Однако комната не является герметичной, поэтому объем газа (воздуха) в помещении постоянным считать нельзя. Постоянным в нашем случае является давление, которое равно наружному давлению атмосферы. При увеличении температуры уменьшается масса воздуха в комнате, так как газ выходит через щели наружу.

Вычислить плотность воздуха, можно используя уравнение Менделеева-Клапейpона:

Разделим правую и левую части уравнения (1.1) на V, имеем:

Из уравнения (1.2) выразим плотность (), получаем:

Из выражения (1.3) видно, что при постоянном давлении плотность обратно пропорциональна температуре для одного и того же газа, значит:

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание Чему равен вес (P) оболочки воздушного шара, который наполнен водородом, если шарик находится во взвешенном состоянии? Давление внутри шара равно внешнему давлению атмосферы. Радиус шара R. Воздух и водород находятся при нормальных условиях.
Решение Сделаем рисунок.

Рис. 1

В соответствии со вторым законом Ньютона для шарика запишем:

где ускорение шарика равно нулю, так как по условию шар находится во взвешенном состоянии. В проекции на ось Y (рис.1) имеем:

По закону Архимеда:

где — масса воздуха в объема шара. Подставим (2.3) в выражение (2.2) и выразим искомый вес:

Применим уравнение Менделеева-Клапейpона для нахождения масс воздуха () и водорода ():

Подставим найденные массы в уравнение (2.4), имеем:

где объем шара найден как:

Ответ

ТолкованиеЗакон Менделеева-Клапейрона</dt>

Уравнение состояния
100px-thermodynamics_navigation_image.svg.png
Статья является частью серии «Термодинамика».
Уравнение состояния идеального газа
Уравнение Ван-дер-Ваальса
Уравнение Дитеричи
Разделы термодинамики
Начала термодинамики
Уравнение состояния
Термодинамические величины
Термодинамические потенциалы
Термодинамические циклы
Фазовые переходы

Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Клапейрона — Менделеева) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температуройидеального газа. Уравнение имеет вид:

deca8d65f7c9f82f80d0caf23d700d8c.png

где

  • 55259a224ba91e1a7724f54ab1dc3dea.png — давление,
  • 81c8d07a068d565ae55c7eef1ad22924.png — молярный объём,
  • d78c8bdf1e734bfdd77666505f91fab6.png — абсолютная температура,
  • 3aa2c113f40e6bdfb627684b7187b9b8.png — универсальная газовая постоянная.

Так как 60bc8147999d9000c8b56a7ac8adb56c.png, где 2134c1f646882595262656d3129ddbb2.png — количество вещества, а 8c01e051571e7a2d99631c3cf329967b.png, где c412188b02efd163085e55c0d351fe41.png — масса, 77316bd1d5862dd8a074a4378a5b4b45.png — молярная масса, уравнение состояния можно записать:

2e21673a28d00a79a7de4220d278ea6f.png

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева — Клапейрона.

В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде:

Последнее уравнение называют объединённым газовым законом. Из него получаются законы Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:

d83d174b58f121f66ef6929b4fca9a70.png — закон Бойля — Мариотта.
1de038ffd571ce39d0bd2759a888bd0c.png — закон Гей-Люссака.
e342058e514d31d93c65e4792b0b1a86.png — закон Шарля (второй закон Гей-Люссака, 1808 г.)

С точки зрения химика этот закон может звучать несколько иначе: Объёмы вступающих в реакцию газов при одинаковых условиях (температуре, давлении) относятся друг к другу и к объёмам образующихся газообразных соединений как простые целые числа. Например, 1 объём водорода соединяется с 1 объёмом хлора, при этом образуются 2 объёма хлороводорода:

80d73acd38740e2221719b8ee02a6d49.png

1 объём азота соединяется с 3 объёмами водорода с образованием 2 объёмов аммиака:

 — закон Бойля — Мариотта.

Закон Бойля — Мариотта назван в честь ирландского физика, химика и философа Роберта Бойля (1627—1691), открывшего его в 1662 г., а также в честь французского физика Эдма Мариотта (1620—1684), который открыл этот закон независимо от Бойля в 1676 году.

В некоторых случаях (в газовой динамике) уравнение состояния идеального газа удобно записывать в форме

a35ccf744889017dc18abb4c2f1dcc2d.png

где 4bc0858d2058e091257d643bf4d2d98a.png — показатель адиабаты, d57aca206e9b0c72b42c45c07c03c324.png — внутренняя энергия единицы массы вещества.

Эмиль Амага обнаружил, что при высоких давлениях поведение газов отклоняется от закона Бойля — Мариотта. И это обстоятельство может быть прояснено, как считал ещё М. В. Ломоносов, на основании молекулярных представлений.

С одной стороны, в сильно сжатых газах размеры самих молекул являются сравнимыми с расстояниями между молекулами. Таким образом, свободное пространство, в котором движутся молекулы, меньше, чем полный объем газа. Это обстоятельство увеличивает число ударов молекул в стенку, так как благодаря ему сокращается расстояние, которое должна пролететь молекула, чтобы достигнуть стенки.

С другой стороны, в сильно сжатом и, следовательно, более плотном газе молекулы заметно притягиваются к другим молекулам гораздо большую часть времени, чем молекулы в разреженном газе. Это, наоборот, уменьшает число ударов молекул в стенку, так как при наличии притяжения к другим молекулам молекулы газа движутся по направлению к стенке с меньшей скоростью, чем при отсутствии притяжения. При не слишком больших давлениях. более существенным является второе обстоятельство и произведение 20b21bfab77f0ebfa55a4b282cc8e739.png немного уменьшается. При очень высоких давлениях большую роль играет первое обстоятельство и произведение 20b21bfab77f0ebfa55a4b282cc8e739.png увеличивается.

Связь с современной физикой

В [1] и [2] показано, что уравнение состояния идеального газа может быть получено из соотношения неопределенностей Гейзенберга. Точнее, «…уравнение газового состояния … есть не что иное, как одна из форм записи соотношения неопределенностей Гейзенберга»[1].

Литература

  1. 12 Шилейко А. В. Физические основы электроники. / Под ред. В. Ф. Гузика. Таганрог: ТРТУ, 1995. — 210 с. — ISBN 5-230-24697-0.
  2. Шилейко А. В., Шилейко Т. И. В океане энергии. — М.: Знание, 1989. — 189 с.

</dd>

Wikimedia Foundation. 2010.

</dl>

Смотреть что такое «Закон Менделеева-Клапейрона» в других словарях:

  • Закон Авогадро — одно из важных основных положений химии, гласящее, что «в равных объёмах различных газов, взятых при одинаковых температуре и давлении, содержится одно и то же число молекул». Было сформулировано ещё в 1811 году Амедео Авогадро (1776 1856),… …   Википедия

  • Закон Бойля-Мариотта — Закон Бойля Мариотта  один из основных газовых законов. Закон назван в честь ирландского физика, химика и философа Роберта Бойля (1627 1691), открывшего его в 1662, а также в честь французского физика Эдма Мариотта (1620 1684), который открыл… …   Википедия

  • Клапейрона уравнение — Уравнение состояния Статья является частью серии «Термодинамика». Уравнение состояния идеального газа Уравнение Ван дер Ваальса Уравнение Дитеричи Разделы термодинамики Начала термодинамики Уравнен …   Википедия

  • КЛАПЕЙРОНА-МЕНДЕЛЕЕВА УРАВНЕНИЕ — КЛАПЕЙРОНА МЕНДЕЛЕЕВА УРАВНЕНИЕ, уравнение состояния (см. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ) для идеального газа (см. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ), отнесенное к 1 молю (см. МОЛЬ) газа. В 1874 Д. И. Менделеев (см. МЕНДЕЛЕЕВ Дмитрий Иванович) на основе уравнения Клапейрона… …   Энциклопедический словарь

  • КЛАПЕЙРОНА УРАВНЕНИЕ — (Клапейрона Менделеева уравнение), зависимость между параметрами идеального газа (давлением р, объёмом V и абс. темп рой Т), определяющими его состояние: pV=BT, где коэфф. пропорциональности В зависит от массы газа М и его мол. массы. Установлен… …   Физическая энциклопедия

  • КЛАПЕЙРОНА УРАВНЕНИЕ — Клапейрона Менделеева уравнение [по имени франц. физика Б. Клапейрона (В. Clapeyron; 1799 1864) и рус. химика Д. И. Менделеева (1834 1907)], ур ние состояния идеального газа: pVm =RT, где р давление, Т термодинамическая температура газа, Vm… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Клапейрона уравнение —         Клапейрона Менделеева уравнение, найденная Б. П. Э. Клапейроном (1834) зависимость между физическими величинами, определяющими состояние идеального газа: давлением газа р, его объёмом V и абсолютной температурой Т.          К. у.… …   Большая советская энциклопедия

  • Клапейрона уравнение — (Клапейрона Менделеева уравнение), найденная Б. П. Э. Клапейроном (1834) зависимость между физическими величинами, определяющими состояние идеального газа (давлением р, его объёмом V и абсолютной температурой Т): pV = ВТ, где коэффициент B… …   Энциклопедический словарь

  • Бойля-Мариотта закон — Уравнение состояния Статья является частью серии «Термодинамика». Уравнение состояния идеального газа Уравнение Ван дер Ваальса Уравнение Дитеричи Разделы термодинамики Начала термодинамики Уравнен …   Википедия

  • Объединённый газовый закон — Уравнение состояния Статья является частью серии «Термодинамика». Уравнение состояния идеального газа Уравнение Ван дер Ваальса Уравнение Дитеричи Разделы термодинамики Начала термодинамики Уравнен …   Википедия

Используемые источники:

  • https://www.eduspb.com/node/1742
  • https://studwork.org/spravochnik/fizika/uravnenie-klapeyrona-mendeleeva
  • http://ru.solverbook.com/spravochnik/formuly-po-fizike/formula-idealnogo-gaza/
  • http://ru.solverbook.com/spravochnik/uravneniya-po-fizike/uravnenie-mendeleeva-klapejpona/
  • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/923568

Оставьте комментарий