Площадь правильного треугольника

Содержание

Главная

 → 

Геометрия

 → 

Площадь треугольника

Язык:

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки или файла PDF (в конце страницы)

<label> — Вычисления  (показано)  (скрыто)</label><label> — примечания  (показано)  (скрыто)</label>

Для всех треугольников

1

Площадь треугольника по основанию и высоте

Сторона aСторона bСторона cРадиус r вписанной окружности4

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Сторона aСторона bСторона cРадиус R описанной окружности5

Площадь треугольника по формуле Герона

Сторона aСторона bСторона c6

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Сторона aУгол β°Угол α°

Для равнобедренных треугольников

7

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Сторона a (a = b)Сторона c8

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Боковая сторона a(a = b)Угол α° между боковыми сторонами9

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Боковая сторона a(a = b)Основание треугольника cУгол β° между основанием и стороной10

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Основание треугольника cУгол α° между боковыми сторонами

Для равносторонних треугольников

11

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника cВысота h12

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Сторона a(a = b = c)13

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Высота h14

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Радиус r вписанной окружности15

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Радиус R описанной окружности

Для прямоугольных треугольников

16

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет aКатет b17

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Сторона cУгол α18

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Сторона bУгол α19

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Отрезок dОтрезок e20

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Сторона сРадиус r21

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Сторона aСторона bСторона c

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.

Таблица с формулами площади треугольника

эскиз формула
Для всех треугольников
1 основание и высота
2 две стороны и угол между ними
3 радиус вписанной окружности и три стороны
4 радиус описанной окружности и три стороны
5
6 сторона и два прилежащих угла
Для равнобедренных треугольников
7 боковые стороны и основание
8 боковые стороны и угол между ними
9 боковые стороны, основание и угол между боковыми сторонами и основанием
10 основание и угол между боковыми сторонами
11 высота и основание
Для равносторонних треугольников
12 сторона
13 высота
14 радиус вписанной окружности
15 радиусу описанной окружности
Для прямоугольных треугольников
16 два катета
17 гипотенуза и угол
18 катет и угол
19 отрезки, на которые делит гипотенузу вписанная окружность
20 гипотенуза и радиус вписанной окружности
21

Определения

Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки

скачать (png)    скачать (PDF) » title=»Для всех треугольников»>скачать (png)    скачать (PDF)» title=»Для всех треугольников»>скачать (png)    скачать (PDF)» title=»Для всех треугольников»>скачать (png)    скачать (PDF)» title=»Для всех треугольников»>скачать (png)    скачать (PDF)» title=»Для всех треугольников»>скачать (png)    скачать (PDF)» title=»Для всех треугольников»>

Правильные треугольники – это особое явление в геометрии. Все углы треугольника абсолютно точно определены значением в 60 градусов. Из-за этого, помимо обычных для треугольников способов нахождения площади, существуют и способы нахождения именно площади правильного треугольника, не характерные для других фигур. Все способы будут рассмотрены в этой статье.

ploschad-pravilnogo-treugolnika.jpg

Формулы для нахождения площади треугольника.

  • Первая формула площади правильного треугольника стандартна. Площадь равна половине произведения основания на высоту: $S= {1over2}h*a$.
  • Существует формула нахождения площади через сторону, которая проистекает из первой, но характерна только для правильных треугольников. В правильном треугольнике АВС проведем высоту АМ, которая будет являться так же медианой и биссектрисой.

Это свойство характерно для равнобедренных треугольников, но любой правильный треугольник и будет равнобедренным, просто любая из его сторон может считаться основанием, так как две другие стороны в любом случае будут равны.

matematika-53251-pravilnyy-treugolnik.jpg

Рис. 1. Правильный треугольник.

В результате треугольник делиться на два, равных между собой прямоугольных треугольника. Теперь найдем значение высоты, подставим его в классическую формулу площади треугольника и получим формулу для правильного треугольника.

matematika-53251-risunok-k-dokazatelstvu.jpg

Рис. 2. Рисунок к доказательству.

В прямоугольном треугольнике АВМ катет АМ можно выразить через синус угла АВМ. Этот угол известен и равен 60 градусам, значит, известны и значения синуса и косинуса для этого угла. Катет АМ противолежащий, значит, для его нахождения необходимо воспользоваться формулой синуса.

$$Sin(ABM)={AMover AB}$$

С другой стороны синус 60 градусов заранее известнее и равен $$sqrt{3} over 2$$ . Значит можно выразить значение АМ:

$$АМ=АВ*sin(ABM)=AB* {sqrt{3}over 2}$$

Все стороны треугольника между собой равны, поэтому для удобства обозначим их через букву а.

AB=AC=BC=a

Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

$$АМ=а*{sqrt{3}over2}$$

Теперь вспомним классическую формулу площади треугольника:

$S= {1over2}h*a$, где а это основание треугольника, h – высота, проведенная к этому основанию. В заданном треугольнике это будет выглядеть следующим образом:

$$S={1over2}*BC*AM={1over2}*a*a*{sqrt{3}over2}=a^2*{sqrt{3}over4}$$

ВС заменили на а, так как все стороны равны между собой, а значение высоты мы находили ранее. Получившаяся формула гораздо проще классических в плане количества необходимых параметров. Для нахождения площади правильного треугольника необходимо знать только значение одной из его сторон. Это возможно за счет равенства углов в таком треугольнике.

Только в правильном треугольнике возможно нахождение площади полной поверхности через сторону.

По той же причине нельзя использовать эту формулу для равнобедренного или произвольного треугольника. Прежде чем использовать эту формулу необходимо доказать, что треугольник правильный или убедиться, что это условие прописано в исходных данных задачи.

matematika-53251-proizvolnyy-treugolnik.jpg

Рис. 3. Произвольный треугольник.

Что мы узнали?

Мы узнали, как можно найти площадь правильного треугольника по стороне, разобрались как эту формулу можно просто и быстро вывести. Запомнив ход вывода можно пользоваться этим в дальнейшем, не запоминая точных значений, а просто проверяя себя, выводя формулу в черновике.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Какой треугольник называется правильным</h3>

    • <label>Все стороны которого равны</label>
    • <label>Две стороны которого равны</label>
    • <label>Который содержит прямой угол</label>
    • <label>Любой</label>

(новая вкладка)

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади плоских фигур: Формулы площади треугольника Формулы площади квадрата Формула площади прямоугольника Формулы площади параллелограмма Формулы площади ромба Формула площади трапеции Формула площади выпуклого четырехугольника Формулы площади круга Формулы площади эллипсаОнлайн калькуляторы для вычисления площадей плоских фигур

Формулы площади треугольника

  1. Формула площади треугольника по стороне и высотеПлощадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
    S =  1 a · h
    2
  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    Формула Герона

    S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между нимиПлощадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
    S =  1 a · b · sin γ
    2
  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
    S =  a · b · с
    4R
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружностиПлощадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
    S = p · r

    где S — площадь треугольника,a, b, c — длины сторон треугольника,h — высота треугольника,γ — угол между сторонами a и b,r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности,

    p =  a + b + c   — полупериметр треугольника.
    2

Формулы площади квадрата

  1. Формула площади квадрата по длине стороныПлощадь квадрата равна квадрату длины его стороны.S = a2
  2. Формула площади квадрата по длине диагоналиПлощадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
    S =  1 d2
    2

    где S — площадь квадрата,a — длина стороны квадрата,d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторонS = a · b где S — Площадь прямоугольника,a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высотеПлощадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
  2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между нимиПлощадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.S = a · b · sin α
  3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между нимиПлощадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.
    S =  1 d1d2 sin γ
    2

    где S — Площадь параллелограмма,a, b — длины сторон параллелограмма,h — длина высоты параллелограмма,d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,α — угол между сторонами параллелограмма,γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

  1. Формула площади ромба по длине стороны и высотеПлощадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
  2. Формула площади ромба по длине стороны и углуПлощадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.S = a2 · sin α
  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналейПлощадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
    S =  1 d1 · d2
    2

    где S — Площадь ромба,a — длина стороны ромба,h — длина высоты ромба,α — угол между сторонами ромба,d1, d2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

  1. Формула Герона для трапеции
    S =  a + b (p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)
    |a — b|
  2. Формула площади трапеции по длине основ и высотеПлощадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту
    S =  1 (a + b) · h
    2

    где S — площадь трапеции,a, b — длины основ трапеции,c, d — длины боковых сторон трапеции,

    p =  a + b + c + d   — полупериметр трапеции.
    2

Формулы площади выпуклого четырехугольника

  1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:
    S =  1 d1 d2 sin α
    2

    где S — площадь четырехугольника,d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника,α — угол между диагоналями четырехугольника.

  2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружностиS = p · r
  3. Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных угловS = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2θ где S — площадь четырехугольника,

    a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,

    p = <mfrac><mn>a + b + c + d</mn><mn>2</mn></mfrac>  — полупериметр четырехугольника,

    θ = <mfrac><mn>α + β</mn><mn>2</mn></mfrac>  — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

  4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружностьS = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Формулы площади круга

  1. Формула площади круга через радиусПлощадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.S = π r2
  2. Формула площади круга через диаметрПлощадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.
    S =  1 π d2
    4

    где S — Площадь круга,r — длина радиуса круга,d — длина диаметра круга.

Формулы площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи. S = π · a · b где S — Площадь эллипса, a — длина большей полуоси эллипса, b — длина меньшей полуоси эллипса.

Используемые источники:

  • https://doza.pro/art/math/geometry/area-triangle
  • https://obrazovaka.ru/geometriya/ploschad-pravilnogo-treugolnika-formula.html
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/area/

Оставьте комментарий