Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки.

Содержание

Навигация по странице:Основное соотношение.Чтобы найти координаты вектораAB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

points-to-vector.png

Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки

Формула определения координат вектора для плоских задач

В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay) и B(Bx ; By) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {Bx — Ax ; By — Ay}

Формула определения координат вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay ; Az) и B(Bx ; By ; Bz) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {Bx — Ax ; By — Ay ; Bz — Az}

Формула определения координат вектора для n -мерного пространства

В случае n-мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A1 ; A2 ; … ; An) и B(B1 ; B2 ; … ; Bn) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B1 — A1 ; B2 — A2 ; … ; Bn — An}

Примеры задач связанных с определением координат вектора по двум точкам

Примеры для плоских задач

Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).

Решение:AB = {3 — 1; 1 — 4} = {2; -3}.

Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1}, если координаты точки A(3; -4).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Bx = ABx + Ax   =>   Bx = 5 + 3 = 8 ABy = By — Ay   =>   By = ABy + Ay   =>   By = 1 + (-4) = -3

Ответ: B(8; -3).

Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1}, если координаты точки B(3; -4).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Ax = Bx — ABx   =>   Ax = 3 — 5 = -2 ABy = By — Ay   =>   Ay = By — ABy   =>   Ay = -4 — 1 = -5

Ответ: A(-2; -5).

Примеры для пространственных задач

Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).

Решение:AB = {3 — 1; 1 — 4; 1 — 5} = {2; -3; -4}.

Пример 5. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2}, если координаты точки A(3; -4; 3).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Bx = ABx + Ax   =>   Bx = 5 + 3 = 8 ABy = By — Ay   =>   By = ABy + Ay   =>   By = 1 + (-4) = -3 ABz = Bz — Az   =>   Bz = ABz + Az   =>   Bz = 2 + 3 = 5

Ответ: B(8; -3; 5).

Пример 6. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4}, если координаты точки B(3; -4; 1).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Ax = Bx — ABx   =>   Ax = 3 — 5 = -2 ABy = By — Ay   =>   Ay = By — ABy   =>   Ay = -4 — 1 = -5 ABz = Bz — Az   =>   Az = Bz — ABz   =>   Az = 1 — 4 = -3

Ответ: A(-2; -5; -3).

Примеры для n -мерного пространства

Пример 7. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5; 5; -3), B(3; 0; 1; -2; 5).

Решение:AB = {3 — 1; 0 — 4; 1 — 5; -2 — 5; 5 — (-3)} = {2; -4; -4; -7; 8}.

Пример 8. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2; 1}, если координаты точки A(3; -4; 3; 2).

Решение:

AB1 = B1 — A1   =>   B1 = AB1 + A1   =>   B1 = 5 + 3 = 8 AB2 = B2 — A2   =>   B2 = AB2 + A2   =>   B2 = 1 + (-4) = -3 AB3 = B3 — A3   =>   B3 = AB3 + A3   =>   B3 = 2 + 3 = 5 AB4 = B4 — A4   =>   B4 = AB4 + A4   =>   B4 = 1 + 2 = 3

Ответ: B(8; -3; 5; 3).

Пример 9. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4; 5}, если координаты точки B(3; -4; 1; 8).

Решение:

AB1 = B1 — A1   =>   A1 = B1 — AB1   =>   A1 = 3 — 5 = -2 AB2 = B2 — A2   =>   A2 = B2 — AB2   =>   A2 = -4 — 1 = -5 AB3 = B3 — A3   =>   A3 = B3 — AB3   =>   A3 = 1 — 4 = -3 AB4 = B4 — A4   =>   A4 = B4 — AB4   =>   A4 = 8 — 5 = 3

Ответ: A(-2; -5; -3; 3).

ВектораВектор: определение и основные понятияОпределение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точкиМодуль вектора. Длина вектораНаправляющие косинусы вектораРавенство векторовОртогональность векторовКоллинеарность векторовКомпланарность векторовУгол между векторамиПроекция вектораСложение и вычитание векторовУмножение вектора на числоСкалярное произведение векторовВекторное произведение векторовСмешанное произведение векторовЛинейно зависимые и линейно независимые вектораРазложение вектора по базису

Векторы: ( mathbf{r} ), ( mathbf{r_1} ), ( mathbf{AB} )

Длины векторов: ( left| {mathbf{r}} right| ), ( left| {mathbf{AB}} right| )

Единичные векторы: ( mathbf{i} ), ( mathbf{j} ), ( mathbf{k} )

Координаты векторов: ( X ), ( Y ), ( Z ), ( {X_1} ), ( {Y_1} ), ( {Z_1} )

Координаты точек: ( {x_0} ), ( {y_0} ), ( {z_0} ), ( {x_1} ), ( {y_1} ), ( {z_1} )

Направляющие косинусы: ( cos alpha ), ( cos beta ), ( cos gamma )

Вектором называется направленный отрезок, один из концов которого является началом, а другой − концом вектора.

Единичные векторы

Единичные векторы трехмерной декартовой системы координат обозначаются следующим образом:

( mathbf{i} = left( {1,0,0} right) ), ( mathbf{j} = left( {0,1,0} right) ), ( mathbf{k} = left( {0,0,1} right) ), ( left| mathbf{i} right| = left| mathbf{j} right| = left| mathbf{k} right| = 1 ).

Данная тройка единичных векторов образует базис координатной системы.

koordinaty_vektora_2.jpg

Любой вектор можно разложить по базисным векторам. Формула разложения записывается в виде :

( mathbf{r} = mathbf{AB} = left( {{x_1} — {x_0}} right)mathbf{i} + left( {{y_1} — {y_0}} right)mathbf{j} + left( {{z_1} — {z_0}} right)mathbf{k}. )

Длиной (или модулем ) вектора называется расстояние между началом и концом вектора

( left| mathbf{r} right| = left| mathbf{AB} right| = sqrt {{{left( {{x_1} — {x_0}} right)}^2} + {{left( {{y_1} — {y_0}} right)}^2} + {{left( {{z_1} — {z_0}} right)}^2}}. )

Противоположные векторы имеют равные длины и направлены в противоположные стороны: Если ( mathbf{AB} = mathbf{r} ), то ( mathbf{BA} = -mathbf{r} ).

koordinaty_vektora_3.jpg

Координатами вектора называются проекции вектора на оси координат: ( X = left| mathbf{r} right|cos alpha ), ( Y = left| mathbf{r} right|cos beta ), ( Z = left| mathbf{r} right|cos gamma. )

Величины ( cosalpha ), ( cosbeta ), ( cosgamma ) являются направляющими косинусами вектора ( mathbf{r} ).

koordinaty_vektora_4.jpg

Векторы называются коллинеарными , если они параллельны одной и той же прямой.

Векторы являются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. У равных векторов соответствующие координаты также равны: Если ( mathbf{r}left( {X,Y,Z} right) = mathbf{r_1}left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} right) ), то ( X = {X_1} ), ( Y = {Y_1} ), ( Z = {Z_1} ).

Интересуетесь топовыми гаджетами и популярными технологическими новинками?👍 Подписывайтесь на телеграм канал @upkitai ( ссылка t.me/upkitai )Еще из школьной программы по алгебре и геометрии нам известно, что вектором называется отрезок, имеющий направление. Координаты вектора определяют его характеристику и являются упорядоченным набором чисел. Найти их совершенно несложно, вспомнив некоторые сведения из школьного курса обучения.1_52550b5e6562952550b5e65665.jpgИнструкция1координаты bвектора/b» class=»colorbox imagefield imagefield-imagelink» rel=»gallery-step-images»> Поместите в начало вектора, координаты которого вам надо найти, точку нулевого отсчета декартовой системы координат. После этого для определения координаты вектора, найдите месторасположение его конечной точки. Для этого опустите по одному перпендикуляру на координатные оси Икс и Игрек. Таким образом, вы получите точки, в которых вектор пересекается с осями. Определите координаты этих точек. Они и будут являться координатами заданного вектора. Это стандартный способ определения координат вектора на плоскости.2Если вам надо определить координаты вектора в пространстве, действуйте по такому же принципу, как и нахождение их на плоскости. Это абсолютно такие же направленные отрезки, которые имеют начало и конец. Различие состоит лишь в том, что вектор в пространстве задается не двумя, а тремя координатами x, y и z (на плоскости это длина и высота, а в пространстве ко всему добавляется еще и глубина) a(xa; ya; za), где а обозначает длину вектора. Таким образом, чтобы найти координаты вектора в пространстве, вам надо из координаты конца вычесть координату начала вектора. Произведите вычисления по формуле: a =AB (xB − xA; yB − yA; zB − zA). Это лишь один из способов решения задач по стереометрии (изучение фигур в пространстве), в котором применяются простые формулы, правила и алгоритмы. Он занимает минимум времени и весьма удобен.3Определите координаты вектора в пространстве классическим способом, который потребует от вас отличного знания теорем и аксиом стереометрии, умений строить чертежи и сводить объемные задачи к планиметрическим. Он хорош тем, что отлично развивает мозг и пространственное мышление, но требует гораздо большего времени и при малейшей ошибке дает неверные результаты. Классический способ обычно широко применяется архитекторами при планировке чертежей будущих зданий. —> —> —> Совет полезен?

Вспомним для начала основные понятия и формулы.

Пусть даны две точки: А(x1; x2) и B(y1; y2). Рассмотрим отрезок AB.

Длина отрезка АВ – это расстояние между точками A и B, его величина вычисляется по следующей формуле:

Рассмотрим теперь вектор AB. Напомню, что вектор – это направленный отрезок, то есть для него указано, какая из двух точек A и B является началом, а какая – концом. На рисунке ниже слева изображен отрезок AB, а справа – вектор AB с началом в точке A и концом в точке B.

Координаты вектора AB вычисляются следующим образом: из соответствующих координат конца вектора вычитаются соответствующие координаты начала вектора. Например, для нашего вектора AB это будет выглядеть так: AB(x2 – x1; y2 – y1).

Замечу, что модулем вектора AB называется длина отрезка AB.

Вспомним как найти координаты середины отрезка AB. Для этого есть простая формула:

x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2.

До этого момента мы рассматривали координаты на плоскости, а что, если речь пойдет о пространстве? Тут, оказывается, тоже все просто.

Пусть даны две точки A(x1; x2; x3) и B(y1; y2; y3).

Формула для вычисления длины отрезка AB, расположенного в пространстве будет выглядеть так:

А координаты середины отрезка AB найдем по формуле

x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z = (z1 + z2)/2.

И еще одна полезная формула: если вектор задан своими координатами, например,  MN(x1; x2; x3), то его модуль вычисляется по формуле:

Чтобы сложить два или более векторов, нужно сложить их соответствующие координаты, например,

(x1; x2; x3) + (y1; y2; y3) = (x1 + y1; x2 + y2; x3 + y3).

Чтобы умножить вектор на число, нужно умножить каждую его координату на это число, например,

5 · (x1; x2; x3) = (5 · x1; 5 · x2; 5 · x3).

Скалярным произведением двух векторов а и b называется число

a · b = |a»b| · сos (a, b),

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов, заданных координатами, например, MN(x1; x2; x3) и PK(y1; y2; y3), можно воспользоваться следующей формулой:

MN · PK = x1 · y1 + x2 · y2 + x3 · y3.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

На практике коллинеарность векторов (x1; x2) и (y1; y2) проще всего проверить, используя следующее свойство: коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, то есть существует число p, такое, что (x1; x2) = p · (y1; y2).

Существуют также такие понятия, как сонаправленные векторы и противоположно направленные векторы.Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону, соответственно, противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в разные стороны.

Теперь давайте рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача 1.

Доказать, что треугольник с вершинами A(6; -4; 2), B(3; 2; 3) и C(3; -5; -1) прямоугольный.

Решение.

Вполне очевидно, что для доказательства этой задачи достаточно показать, что один из углов треугольника ABC равен 90 градусов. Вспомним формулу для вычисления скалярного произведения через модули соответствующих векторов и косинус угла между ними, преобразуем ее и воспользуемся для нахождения угла.

сos (a, b) = a · b/|a»b|.

Для начала нам понадобятся координаты всех векторов, задающих стороны треугольника, их модули и всевозможные скалярные произведения. Вычисляем их.

Координаты векторов:

AB(3 6; 2 (-4); 3 2) = AB(-3; 6; 1);

BC(3 3; -5 2; -1 3) = BC(0; -7; -4);

CA(6 3; -4 (-5); 2 (-1)) = CA(3; 1; 3).

Модули:

|AB| =

|BC| =

|CA| =

Скалярные произведения:

AB · BC = (-3) · 0 + 6 · (-7) + 1 · (-4) = 0 42 4 = -46;

BC · CA = 0 · 3 + (-7) · 1 + (-4) · 3 = 0 7 12 = -19;

AB · CA = (-3) · 3 + 6 · 1 + 1 · 3 = -9 + 6 + 3 = 0.

Теперь легко заметить, что угол между векторами AB и CA равен 90 градусов, так как

сos (AB, CA) = AB · CA / |AB»CA| = 0.

А, значит, угол А треугольника ABC равен 90 градусов, то есть треугольник ABC – прямоугольный, что и требовалось доказать.

Задача 2.

Даны точки А(0; 1; 2), B(1; 2; 4), C(-1; -1; 3) и D(1; 0; 0). Точки M и N – середины отрезков AC и BD. Найдите вектор MN и его модуль.

Решение.

Для начала найдем координаты точек M и N.

M((0 1)/2; (1 1)/2; (2 + 3)/2) = M(-1/2; 0; 5/2);

N((1 + 1)/2; (2 + 0)/2; (4 + 0)/2) = N(1; 1; 2).

Теперь найдем координаты вектора MN:

MN(1 (-1/2); 1 0; 2 5/2) = MN(3/2; 1; -1/2).

Осталось найти модуль вектора MN.

|MN| =

Задача 3.

При каких значениях x векторы (x 1)a и 2xa сонаправлены, где a – вектор, не равный нулевому вектору?

Решение.

Для того чтобы данные векторы были сонаправлены, необходимо, чтобы коэффициенты (x 1) и 2x имели одинаковый знак, а значит, чтобы выполнялось следующее неравенство: (x3 1) · 2x > 0. Решим его методом интервалов и найдем соответствующие x.

Получим x € (-∞; 0) U (1; +∞).

Если бы в задаче требовалось узнать, при каких x данные векторы будут противоположно направлены, мы бы потребовали, чтобы у коэффициентов (x3 1) и 2x были различные знаки.

Задача 4.

Даны координаты вершин четырехугольника: A(2; -2), B(-3; 1), C(7; 7) и D(7; 1). Доказать, что ABCD – трапеция.

Решение.

Так как трапеция – это четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна, то для доказательства нам достаточно показать, что векторы BC и AD – коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых. Найдем для начала их координаты.

BC(7 (-3); 7 1) = BC(10; 6);

AD(7 2; 1 (-2)) = AD(5; 3).

Заметим, что координаты векторов пропорциональны: (10; 6) = 2 · (5; 3). Это и указывает на то, что данные векторы коллинеарны, а, значит, ABCD – трапеция.

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.Первый урок – бесплатно!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Морфемный и словообразовательный разборы словаАберрации оптических систем

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти значение координат вектора по двум точкам (зная его начальную и конечную точку) для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на определение координат вектора по двум точкам и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для вычисления координат вектора по двум точкам

points-to-vector.png Размерность вектора:

Начальная точка

= (, , )

Конечная точка

= (, , )

AB

Инструкция использования калькулятора для вычисления координат вектора по двум точкам

Для того чтобы найти координаты вектора по двум точкам онлайн:

  • выберите из выпадающегося списка необходимую вам размерность вектора;
  • введите значения координат начальной и конечной точки вектора;
  • Нажмите кнопку «=» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод даных в калькулятор для вычисления координат вектора по двум точкам

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления координат вектора по двум точкам

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Координаты вектора по двум точкам

points-to-vector.pngОпределеие. Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точки А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Например, вектор AB, заданный в пространстве координатами точек A(Ax, Ay, Az) и B(Bx, By, Bz) можно найти использовав формулу:

AB = {Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az}

Смотрите также справочник: координаты вектора по двум точкам.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Справочник. Вектора.Определение вектора по двум точкамДлина вектора. Модуль вектораНаправляющие косинусы вектораСложение и вычитание двух векторовУмножение вектора на числоСкалярное произведение векторовУгол между векторамиПроекция вектора на векторВекторное произведение векторовСмешанное произведение векторовКоллинеарность векторовОртогональность векторовКомпланарность векторовПлощадь треугольника построенного на векторахПлощадь параллелограмма построенного на векторахОбъем пирамиды построенной на векторахПроверить являются ли вектора базисомРазложение вектора по базисуПоказать все онлайн калькуляторыУпражнения. Определение вектора по двум точкам на плоскости.Упражнения. Сложение и вычитание двух векторов на плоскости.Упражнения. Скалярное произведение векторов на плоскости.Упражнения. Модуль вектора на плоскости.Упражнения. Ортогональность векторов на плоскости.Упражнения. Коллинеарность векторов на плоскости.Упражнения. Определение вектора по двум точкам в пространстве.Упражнения. Сложение и вычитание двух векторов в пространстве.Упражнения. Скалярное произведение векторов в пространстве.Упражнения. Модуль вектора в пространстве.Упражнения. Ортогональность векторов в пространстве.Упражнения. Коллинеарность векторов в пространстве.Упражнения. Векторное произведение векторов.Показать все онлайн упражненияИспользуемые источники:

  • https://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/p_to_vector/
  • https://calcsbox.com/post/koordinaty-vektora.html
  • https://www.kakprosto.ru/kak-97637-kak-opredelit-koordinaty-vektora
  • https://blog.tutoronline.ru/koordinaty-i-vektory
  • https://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/p_to_vector/