Основные тригонометрические тождества

Содержание

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

[ sin^{2}alpha + cos^{2} alpha = 1 ]

[ tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha}, enspace ctg alpha = dfrac{cos alpha}{sin alpha} ]

[ tg alpha cdot ctg alpha = 1 ]

[ dfrac{1}{cos^{2}alpha} = tg^{2} alpha]

[ dfrac{1}{sin^{2}alpha} = ctg^{2} alpha]

Четность, нечетность тригонометрических функций

[ sin left ( — alpha right ) = — sin left ( alpha right ) ]

[ cos left ( — alpha right ) = cos left ( alpha right ) ]

[ tg left ( — alpha right ) = — tg left ( alpha right ) ]

[ ctg left ( — alpha right ) = ctg left ( alpha right ) ]

Зависимость между синусом и косинусом

[ sin^{2} alpha+cos^{2} alpha=1 ]

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

[ tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha},enspace ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ]

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой ( dfrac{y}{x}=dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), а отношение ( dfrac{x}{y}=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов ( alpha ), при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ).

Например: ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ) является справедливой для углов ( alpha ), которые отличны от ( dfrac{pi}{2}+pi z ), а ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — для угла ( alpha ), отличного от ( pi z ), ( z ) — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

[ tg alpha cdot ctg alpha=1 ]

Данное тождество справедливо только для таких углов ( alpha ), которые отличны от ( dfrac{pi}{2} z ). Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что ( tg alpha = dfrac{y}{x} ), а ( ctg alpha=dfrac{x}{y} ). Отсюда следует, что ( tg alpha cdot ctg alpha = dfrac{y}{x} cdot dfrac{x}{y}=1 ). Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

( tg^{2} alpha + 1=dfrac{1}{cos^{2} alpha} ) — сумма квадрата тангенса угла ( alpha ) и ( alpha ), отличных от ( dfrac{pi}{2}+ pi z ).

( 1+ctg^{2} alpha=dfrac{1}{sin^{2}alpha} ) — сумма ( alpha ), равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого ( alpha ), отличного от ( pi z ).

Формулы приведения

<math><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi></math>

Формулы понижения степени

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mn>3</mn><mi>α</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>3</mn><mi>α</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><msup><mi>sin</mi><mn>4</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mn>8</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>4</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mn>8</mn></mfrac></math>

Интересуетесь топовыми гаджетами и популярными технологическими новинками?👍 Подписывайтесь на телеграм канал @upkitai ( ссылка t.me/upkitai )

Содержание:

Основные формулы тригонометрии — это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

Тригонометрические тождества

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>a</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mi>α</mi></mrow></mfrac><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

Формулы приведения

<math><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi></math>

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

<math><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>±</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>±</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>+</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>±</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>±</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>β</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>±</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>β</mi></mrow></mfrac><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>±</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>±</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>±</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>β</mi></mrow></mfrac></math>

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла. 

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы двойного и тройного угла

<math><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo> </mo><mi>с</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>с</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>с</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo> </mo><mi>sin</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>sin</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>4</mn><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mi>cos</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>3</mn><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math>

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mstyle><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>2</mn></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>2</mn></mstyle></mfrac><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mstyle><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>2</mn></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mstyle></mfrac><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mstyle><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>2</mn></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mstyle></mfrac></math>

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mn>3</mn><mi>α</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>3</mn><mi>α</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><msup><mi>sin</mi><mn>4</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mn>8</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>4</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mn>8</mn></mfrac></math>

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

для четных n

<math><msup><mi>sin</mi><mi>n</mi></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><msubsup><mi>C</mi><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo></mrow><mrow><mstyle><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>·</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>)</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><msup><mi>cos</mi><mi>n</mi></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><msubsup><mi>C</mi><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo></mrow><mstyle><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mn>1</mn></mstyle></munderover><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>)</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math>

для нечетных n

<math><msup><mi>sin</mi><mi>n</mi></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo></mrow><mstyle><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mstyle></munderover><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>·</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>)</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><msup><mi>cos</mi><mi>n</mi></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo></mrow><mstyle><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mstyle></munderover><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>)</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math>

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

<math><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>cos</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>β</mi><mo>-</mo><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></math>

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

<math><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></math>

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и котангенс, — могут быть выражены через тангенс половинного угла. 

Универсальная тригонометрическая подстановка

<math><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math>

Всё ещё сложно?Наши эксперты помогут разобратьсяВсе услугиРешение задач от 1 дня / от 150 р.Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.Реферат от 1 дня / от 700 р.

Подробности
Обновлено: 19.05.2018 08:54
Опубликовано: 19.02.2018 17:22

В таблице представлены все основные и редкие тригонометрические формулы приведения: тригонометрические тождества; формулы двойного, тройного и половинного угла; формулы квадратов, кубов и четвертой степени тригонометрических функций; формулы сложения и вычитания аргументов; формулы суммы, разности и произведения тригонометрических функций; формулы понижения степени; формулы суммы и разности разных тригонометрических функций; формулы общего вида.

01)

Основные тригонометрические тождества

01.1)
Основное тригонометрическое тождество
формула основного тригонометрического тождества
01.2)
Основное тождество через тангенс и косинус
формула основного тождества через тангенс и косинус
01.3)
Основное тождество через котангенс и синус
формула основного тождества через котангенс и синус
01.4)
Соотношение между тангенсом и котангенсом
формула соотношения между тангенсом и котангенсом
02)

Формулы двойного аргумента (угла)

02.1)
Синус двойного угла
формула синуса двойного угла
02.2) формула синуса двойного угла
02.3)
Косинус двойного угла
формула синуса двойного угла
02.4) формула синуса двойного угла
02.5)
Тангенс двойного угла
формула синуса двойного угла
02.6)
Котангенс двойного угла
формула синуса двойного угла
03)

Формулы тройного аргумента (угла)

03.1)
Синус тройного угла
формула синуса тройного угла
03.2)
Косинус тройного угла
формула косинуса тройного угла
03.3)
Тангенс тройного угла
формула тангенса тройного угла
03.4)
Котангенс тройного угла
формула котангенса тройного угла
04)

Формулы половинного аргумента (угла)

04.1)
Синус половинного угла
формула синуса половинного угла
04.2)
Косинус половинного угла
формула косинуса половинного угла
04.3)
Тангенс половинного угла
формула тангенса половинного угла
04.4)
Котангенс половинного угла
формула котангенса половинного угла
04.5)
Тангенс половинного угла
формула тангенса половинного угла
04.6)
Котангенс половинного угла
формула котангенса половинного угла
05)

Формулы квадратов тригонометрических функций

05.1)
Квадрат синуса
формула квадрата синуса
05.2)
Квадрат косинуса
формула квадрата косинуса
05.3)
Квадрат тангенса
формула квадрата тангенса
05.4)
Квадрат котангенса
формула квадрата котангенса
05.5)
Квадрат синуса половинного угла
формула квадрата синуса половинного угла
05.6)
Квадрат косинуса половинного угла
формула квадрата косинуса половинного угла
05.7)
Квадрат тангенса половинного угла
формула квадрата тангенса половинного угла
05.8)
Формулы кубов тригонометрических функций
формула квадрата котангенса половинного угла
06)

Формулы кубов тригонометрических функций

06.1)
Куб синуса
формула куба синуса
06.2)
Куб косинуса
формула куба косинуса
06.3)
Куб тангенса
формула куба тангенса
06.4)
Куб котангенса
формула куба котангенса
07)

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

07.1)
Четвертая степень синуса
формула четвертой степени синуса
07.2)
Четвертая степень косинуса
формула четвертой степени косинуса
08)

Формулы сложения и вычитания аргументов

08.1)
Сложение аргументов синуса
формула сложения аргументов синуса
08.2)
Сложение аргументов косинуса
формула сложения аргументов косинуса
08.3)
Сложение аргументов тангенса
формула сложения аргументов тангенса
08.4)
Сложение аргументов котангенса
формула сложения аргументов котангенса
08.5)
Вычитание аргументов синуса
формула вычитания аргументов синуса
08.6)
Вычитание аргументов косинуса
формула вычитания аргументов косинуса
08.7)
Вычитание аргументов тангенса
формула вычитания аргументов тангенса
08.8)
Вычитание аргументов котангенса
формула вычитания аргументов котангенса
09)

Формулы суммы тригонометрических функций

09.1)
Сумма синусов
формула суммы синусов
09.2)
Сумма косинусов
формула суммы косинусов
09.3)
Сумма тангенсов
формула суммы тангенсов
09.4)
Сумма котангенсов
формула суммы котангенсов
09.5)
Сумма синуса и косинуса
формула суммы синуса и косинуса
10)

Формулы разности тригонометрических функций

10.1)
Разность синусов
формула разности суммы синусов
10.2)
Разность косинусов
формула разности суммы косинусов
10.3)
Разность тангенсов
формула разности суммы тангенсов
10.4)
Разность котангенсов
формула разности котангенсов
10.5)
Разность синуса и косинуса
формула разности синуса и косинуса
11)

Формулы произведения тригонометрических функций

11.1)
Произведение синусов
формула произведения синусов
11.2)
Произведение косинусов
формула произведения косинусов
11.3)
Произведение синуса и косинуса
формула произведения синуса и косинуса
11.4)
Произведение тангенсов
формула произведения тангенсов
11.5)
Произведение котангенсов
формула произведения котангенсов
11.6)
Произведение тангенса и котангенса
формула произведения тангенса и котангенса
12)

Формулы понижения степени

12.1)
Понижение степени синуса
формула понижения степени синуса
12.2)
Понижение степени косинуса
формула понижение степени косинуса
13)

Формулы суммы и разности разных тригонометрических функций

13.1)
Сумма синуса и косинуса
формула суммы синуса и косинуса
13.2)
Разность синуса и косинуса
формула разности синуса и косинуса
13.3)
Сумма синуса и косинуса с коэффициентами
формула суммы синуса и косинуса с коэффициентами
13.4)
Разность синуса и косинуса с коэффициентами
формула разности синуса и косинуса с коэффициентами
14)

Формулы общего вида

14.1)
Формула понижения nй четной степени синуса
формула формулы формулы понижения n четной степени синуса
14.2)
Формула понижения nй четной степени косинуса
формула формулы понижения nй четной степени косинуса
14.3)
Формула понижения nй нечетной степени синуса
формула формулы понижения nй нечетной степени синуса
14.4)
Формула понижения nй нечетной степени косинуса
формула формулы понижения nй нечетной степени косинуса

Помощь на развитие проекта premierdevelopment.ru

Уважаемый Посетитель сайта. Если Вам не удалось найти, то что Вы искали — обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал. Если же сайт оказался Ваме полезен — подари проекту premierdevelopment.ru всего 2 ₽ —> Send mail и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Для справки:

синус угла α
— sin(α) отношение противолежащего от угла α катета к гипотенузе.
косинус угла α
— cos(α) отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе.
тангенс угла α
— tg(α) отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему; эквивалентное определение — отношение синуса угла α к косинусу того же угла — sin(α)/cos(α).
котангенс угла α
— ctg(α) отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему; эквивалентное определение — отношение косинуса угла α к синусу того же угла — cos(α)/sin(α).

Другие тригонометрические функции:

секанс
— sec(α) = 1/cos(α).
косеканс
— cosec(α) = 1/sin(α).

Для вывода формул косинуса, синуса, тангенса или котангенса кратных (4+) углов, достаточно расписать их по формулам соответственных косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, либо сводить к предыдущим случаям, сводя до формул тройных и двойных углов.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Podpiska-300x130.jpg

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

2.png

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

<math><mrow><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow><mrow><mo>гипотенуза</mo></mrow></mfrac></mrow></math>

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

<math><mrow><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow><mrow><mo>гипотенуза</mo></mrow></mfrac></mrow></math>

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

<math><mrow><mi>tg</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

<math><mrow><mi>ctg</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Рассмотрим прямоугольный треугольник , угол <math><mi>C</mi></math> равен <math><mn>90</mn><mo>°:</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>tg</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>ctg</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>tg</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>ctg</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math>

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках <math><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo></mrow></math> и <math><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo><mo>,</mo></mrow></math> ось <math><mi>y</mi></math> в точках <math><mrow><mo>(</mo><mo>;</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></math> и <math><mrow><mo>(</mo><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></math>

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> ось <math><mi>y</mi></math> и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами <math><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo><mo>,</mo></mrow></math> – то есть от положительного направления оси <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться <math><mi>S</mi></math> (от слова start). Отметим на окружности точку <math><mi>A</mi><mo>.</mo></math> Рассмотрим <math><mrow><mo>∠</mo><mi>S</mi><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>,</mo></mrow></math> обозначим его за <math><mrow><mi>α</mi><mo>.</mo></mrow></math> Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть <math><mrow><mo>∠</mo><mi>S</mi><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mo>∪</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>.</mo></mrow></math>

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки <math><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>x</mi></math> (точка <math><mi>B</mi><mo>)</mo></math> и на ось игрек (точка <math><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></math>

Отрезок <math><mi>O</mi><mi>B</mi></math> является проекцией отрезка <math><mi>O</mi><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> отрезок <math><mi>O</mi><mi>C</mi></math> является проекцией отрезка <math><mi>O</mi><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math>

Рассмотрим прямоугольный треугольник <math><mrow><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mo>:</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>O</mi><mi>B</mi></math>

<math><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>A</mi><mi>B</mi></math>

Поскольку <math><mrow><mi>O</mi><mi>C</mi><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></math> – прямоугольник, <math><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>C</mi><mi>O</mi><mo>.</mo></mrow></math>

Итак, косинус угла – координата точки <math><mi>A</mi></math> по оси <math><mi>x</mi></math> (ось абсцисс), синус угла – координата точки <math><mi>A</mi></math> по оси <math><mi>y</mi></math> (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол <math><mi>α</mi></math> – тупой, то есть больше <math><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo><mo>:</mo></mrow></math>

Опускаем из точки <math><mi>A</mi></math> перпендикуляры к осям <math><mi>x</mi></math> и <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math> Точка <math><mi>B</mi></math> в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси <math><mi>x</mi><mo>.</mo></math>Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку <math><mi>A</mi></math> по окружности, расположить ее в <math><mo>III</mo></math> или даже в <math><mo>IV</mo></math> четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от <math><mrow><mo>°</mo></mrow></math> до <math><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>.</mo></mrow></math> Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью <math><mi>x</mi><mo>.</mo></math>  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы <math><mrow><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>45</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>.</mo></mrow></math> Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось <math><mi>x</mi></math> и на ось <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math>

Координата по оси <math><mi>x</mi></math> – косинус угла, координата по оси <math><mi>y</mi></math> – синус угла.

Пример:

<math><mi>cos</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math>

<math><mi>sin</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math>

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

<math><mrow><menclose><mrow><msup><mrow><mi>sin</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></menclose></mrow></math>

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике <math><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>:</mo></mrow></math>

<math><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>O</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup></math>

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></math>

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>

<math><mrow><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>45</mn><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo></mrow></math>
<math><mrow><mi>sin</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math>
<math><mrow><mi>cos</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math>
<math><mrow><mi>tg</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math> <math><mrow><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mrow></math> <math><mrow><mo>нет</mo></mrow></math>
<math><mrow><mi>ctg</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mo>нет</mo></mrow></math> <math><mrow><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math>

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

<math><mi>sin</mi><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>30</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>45</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>45</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>60</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>30</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>45</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>45</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>60</mn><mo>°</mo></math>

Рассмотрим тупой угол <math><mi>β</mi></math>:

Для произвольного тупого угла <math><mrow><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow></math> всегда будут справедливы следующие равенства:

<math><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>tg</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>tg</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>ctg</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>ctg</mi><mi>α</mi></math>

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

<math><mrow><mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

<math><mrow><mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>R</mi></mrow></math>

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

<math><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></math>

<math><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></math>

<math><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></math>

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Используемые источники:

  • https://calcsbox.com/post/osnovnye-trigonometriceskie-tozdestva.html
  • https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/osnovnye-trigonometricheskie-formuly/
  • https://www.premierdevelopment.ru/formuly-trigonometrii.html
  • https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-1-trigonometriya/

</h2>