Ромб – между параллелограммом и квадратом

Навигация по странице:Определение ромбаПризнаки ромбаОсновные свойства ромбаСтороны ромбаДиагонали ромбаПериметр ромбаПлощадь ромбаОкружность вписанная в ромбОпределение.Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.

Рис.1 Рис.2

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

ACBD

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Основные свойства ромба

1. Имеет все свойства параллелограмма2. Диагонали перпендикулярны:

ACBD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC2 + BD2 = 4AB2

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.6. В любой ромб можно вписать окружность.7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

a =  S
ha

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

a =  S
sinα
a =  S
sinβ

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

a =  S
2r

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

a =  d12 + d22
2

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):

a =  d1
2 + 2 cosα
a =  d2
2 — 2 cosβ

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

a =  d1
2cos(α/2)
a =  d1
2sin(β/2)

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

a =  d2
2cos(β/2)
a =  d2
2sin(α/2)

8. Формула стороны ромба через периметр:

a =  Р
4

Диагонали ромба

Определение.Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.Ромб имеет две диагонали — длинную d1, и короткую — d2

Формулы определения длины диагонали ромба:

1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d1 = a2 + 2 · cosα

d1 = a2 — 2 · cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d2 = a2 + 2 · cosβ

d2 = a2 — 2 · cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d1 = 2a · cos(α/2)

d1 = 2a · sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d2 = 2a · sin(α/2)

d2 = 2a · cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:

d1 = √4a2d22

d2 = √4a2d12

6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:

d1 = d2 · tg(β/2)

d2 = d1 · tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:d1 = </td>2S</td>d2</td></tbody></table>d2 = </td>2S</td>d1</td></tbody></table>8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:d1 = </td>2r</td>sin(α/2)</td></tbody></table>d2 = </td>2r</td>sin(β/2)</td></tbody></table>

Периметр ромба

Определение.Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

Площадь ромба

Определение.Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.

Формулы определения площади ромба:

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = a · ha

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a2 · sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2a · r

4. Формула площади ромба через две диагонали:

S =  1 d1d2
2

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:r2</td>sinα</td></tbody></table>6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):

S =  1 d12 · tg(α/2)
2
S =  1 d22 · tg(β/2)
2

Окружность вписанная в ромб

Определение.Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:r = </td>h</td>2</td></tbody></table>2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:r = </td>S</td>2a</td></tbody></table>3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:r = </td>√S · sinα</td>2</td></tbody></table>4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:r = </td>a · sinα</td>2</td></tbody></table>r = </td>a · sinβ</td>2</td></tbody></table>5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:r = </td>d1 · sin(α/2)</td>2</td></tbody></table>r = </td>d2 · sin(β/2)</td>2</td></tbody></table>6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:r = </td>d1 · d2</td>2√d12 + d22</td></tbody></table>7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:r = </td>d1 · d2</td>4a</td></tbody></table>Формулы по геометрииТреугольник. Формулы и свойства треугольникаКвадрат. Формулы и свойства квадратаПрямоугольник. Формулы и свойства прямоугольникаПараллелограмм. Формулы и свойства параллелограммаРомб. Формулы и свойства ромбаТрапеция. Формулы и свойства трапеции- Равнобедренная трапеция. Формулы и свойства равнобедренной трапеции- Прямоугольная трапеция. Формулы и свойства прямоугольной трапецииПравильный многоугольник. Формулы и свойства правильного многоугольникаОкружность, круг, сегмент, сектор. Формулы и свойстваЭллипс. Формулы и свойства эллипсаКуб. Формулы и свойства кубаПризма. Формулы и свойства призмыПирамида. Формулы и свойства пирамидыСфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойстваЦилиндр. Формулы и свойстваКонус. Формулы и свойстваФормулы площади геометрических фигурФормулы периметра геометрических фигурФормулы объема геометрических фигурФормулы площади поверхности геометрических фигурВсе таблицы и формулы

Ромб — это четырехугольник, имеющий равные длины сторон.

romb-abcd-s-ravnymi-storonami.png

Ромб является частным случаем параллелограмма.

Ромб имеющий прямые углы является квадратом.

Свойства ромба

1. Противолежащие стороны ромба параллельны и равны.

AB parallel CD,;BC parallel AD

AB = CD,;BC = AD

romb-s-protivolezhashchimi-ravnymi-i-parallelnymi-storonami.png

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

ACperp BD

romb-s-perpendikulyarnymi-diagonalyami.png

Доказательство

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.

romb-s-diagonalyami-i-tochkoj-peresecheniya.png

Значит, triangle BOC = triangle DOC по трем сторонам (BO = OD, OC — совместная, BC = CD). Получаем, что angle BOC = angle COD, и они смежны.

Rightarrow angle BOC = 90^{circ} и angle COD = 90^{circ}.

3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AC=2cdot AO=2cdot CO

BD=2cdot BO=2cdot DO

romb-s-tochkoj-peresecheniya-diagonalej-delyashchej-ih-popolam.png

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

angle 1 = angle 2; ; angle 5 = angle 6;

angle 3 = angle 4; ; angle 7 = angle 8.

Доказательство

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

triangle BOC, ; triangle BOA, ; triangle AOD, ; triangle COD.

Это значит, что BD, AC — биссектрисы.

5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.

6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

AC^2 + BD^2 = 4cdot AB^2

Признаки ромба

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

begin{cases} AC perp BD \ ABCD end{cases} — параллелограмм, Rightarrow ABCD — ромб.

Доказательство

ABCD является параллелограммом Rightarrow AO = CO; BO = OD. Также указано, что AC perp BD Rightarrow triangle AOB = triangle BOC = triangle COD = triangle AOD — по 2-м катетам.

Получается, что AB = BC = CD = AD.

Доказано!

2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб.

Доказательство

angle A = angle C, поскольку ABCD — параллелограмм. AC — биссектриса angle A и angle C.

Следовательно, triangle ABC = triangle ADC и оби фигуры — равнобедренные треугольники.

Это означает, что AB = BC = CD = DA, и ABCD — ромб.

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь признаки параллелограмма 1 и 2

15 января 2021

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы расскажем о такой геометрической фигуре, как РОМБ. Многие наверняка знают, как он выглядит.

Особенно спортивные болельщики, так как эмблемы многих команд связаны именно с ромбом. Тут достаточно вспомнить одну из главных российских команд – Спартак. Вот так она выглядит.

Ромб — это…

А вот как звучит официальное определение ромба:

Ромб – это геометрическая фигура, которая представляет собой особый вид параллелограмма (это как ?). И у него все стороны равны.

История возникновения самого слова весьма примечательна. На древнегреческом оно звучит как «ῥόμβος», а на латыни «rombus». И переводятся оба слова как «бубен».

Дело в том, что в Древней Греции делали барабаны и прочие ударные инструменты чаще именно такой формы. Просто натягивать ткань на параллелограмм было гораздо проще. А вот круглые, более привычные нам сегодня барабаны появились позже.

И еще один интересный факт – карточная масть «бубны» называется так точно по той же причине.

Говоря об определении РОМБА, не лишним будет тогда сказать и что такое параллелограмм, раз он там фигурирует.

Параллелограмм – это геометрическая фигура, которая представляет собой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны между собой и параллельны друг другу.

Выглядит классический параллелограмм вот так:

Впервые его описал знаменитый древнегреческий математик Евклид в своей книге «Начала». Это произведение вышло в 300 году до нашей эры. И было посвящено основам математики, которые были известны на то время.

В частности, Евклид в своей книге разделил все четырехугольники на две большие категории – параллелограмм и трапеция (так как у нее две стороны не параллельны друг другу). Также в «Началах» Евклид указал, что ромб является частным случаем параллелограмма, так как у него противоположные стороны равны.

И наконец, частным случаем самого ромба является квадрат. У него противоположные стороны не только равны, но еще и пересекаются под прямым углом.

» alt=»»>

Признаки ромба

Чтобы понять, что перед нами ромб, должно выполняться всего лишь одно из трех простых условий:

  1. Все четыре стороны параллелограмма равны;
  2. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом 90 градусов;
  3. Диагонали параллелограмма являются еще и биссектрисами.

И тут будет не лишним подтянуть теоретическую базу и напомнить, что такое диагональ, и уж тем более что такое биссектриса.

Диагональ – это отрезок, который соединяет две любые вершины в многоугольнике, которые не находятся рядом друг с другом.

Если говорить конкретно о четырехугольнике, которым является и ромб, то диагональ соединяет две противоположные вершины и никак иначе. И таких диагоналей в ромбе две:

На этом рисунке диагоналями являются отрезки AC и BD. И как показано, они пересекаются под прямым углом, о чем и говорится во втором признаке ромба.

Биссектриса – это линия, которая выходит из угла и делит его ровно на две части.

Кстати, само слово «биссектриса» имеет латинские корни. Оно состоит из двух половин – «bi» (двойное) и sectio (разрезание).

» alt=»»>

Свойства ромба

А можно все и перевернуть таким образом. Если вы точно определи, что перед вами ромб, то тогда для этой фигуры будут характерны вот такие свойства:

  1. Диагонали ромба пересекаются между собой под прямым углом.
  2. Диагонали ромба также представляют собой и биссектрисы его углов.

И есть еще одно свойство, которое помогает решать различные задачки на уроках геометрии. Оно звучит так:

Сумма квадратов обеих диагоналей ромба равна квадрату его сторону, умноженному на четыре.

» alt=»»>

Периметр ромба

Чтобы определить периметр любого четырехугольника, надо просто сложить между собой длины всех его сторон.

В случае с ромбом это совсем просто, так как они все равны между собой. И тогда формула для вычисления периметра получается такой:

Как несложно догадаться, буква «а» здесь – это длина стороны ромба.

Есть еще одна формула для вычисления периметра ромба – через диагонали. Она более сложная, но при решении различных задач вполне может и пригодиться.

» alt=»»>

Площадь ромба

Площадь любой геометрической фигуры – это размер пространства, заключенного в границы этой самой фигуры.

Классическая формула для расчета площади ромба – через длины стороны и высоты.

Главное, надо напомнить, что такое высота. Это отрезок, проведенный из вершины геометрической фигуры под прямым углом к противоположной стороне.

Она обозначается буквой «h» или «H» и выглядит вот так:

И наконец, формула для расчета площади ромба через сторону и высоту:

Есть и другие формулы для расчета площади ромба:

  1. Если известны диагонали:
  2. Если известны сторона и угол:
  3. Если известны угол и радиус вписанной окружности:
  4. Если известны сторона и радиус вписанной окружности:
» alt=»»>

Вот и все, что мы хотели рассказать о ромбе.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Комментарии и отзывы (1)

«>

Со временем, разница между квадратом, ромбом и параллелограммом забывается. То, что было само собой разумеющимся в школе, теперь кажется чем-то новым!:) Кстати, во времена СССР, именно ромб был самой популярной фигурой в дизайне всевозможных логотипов.

Ромб (др.-греч.ῥόμβος, лат. rombus, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны[1].

Этимология

Термин «ромб» происходит от др.-греч.ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Свойства

  1. Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
  2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (ACBD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.
  3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
  4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
  5. Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
  6. Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии.
  7. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Признаки

Параллелограмм<math><semantics><mrow><mstyle><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle ABCD}</annotation></semantics></math>К уравнению ромба

Уравнение ромба с центром в точке <math><semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><msub><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>y</mi></msub><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle {x_{0},y_{0}}}</annotation></semantics></math>

  • Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
<><seics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi><mo>⋅</mo><mi>B</mi><mi>D</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle S={frac {ACcdot BD}{2}}}</annotation></seics>

Червлёный ромб в серебряном поле

В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1

</li>

Просверленный червлёный ромб в серебряном поле

</li>

В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Симметрия

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

  • Ромбический орнамент

  • Ромбические звёзды

  • Более сложный орнамент

  • Мозаика Пенроуза

См. другие примеры на Викискладе.

См. также

Эта страница в последний раз была отредактирована 7 октября 2020 в 17:21.

<center></center> В геометрии существует много типов четырехугольника, то есть параллелограмма, ромба, квадрата, прямоугольника, трапеции и воздушного змея, которые имеют общие характеристики, из-за чего люди сталкиваются с проблемами в понимании этих фигур. Ромб можно назвать косым квадратом, соседние стороны которого равны. Напротив, параллелограмм — это наклонный прямоугольник с двумя наборами параллельных противоположных сторон.

Основное различие между ромбом и параллелограммом заключается в их свойствах, то есть все стороны ромба имеют одинаковую длину, тогда как параллелограмм представляет собой прямолинейную фигуру, противоположные стороны которой параллельны.

Сравнительная таблица

Основа для сравнения Ромб Параллелограмм
Имея в виду Ромб относится к плоской четырехгранной фигуре со всеми конгруэнтными сторонами. Параллелограмм — это четырехсторонняя плоская фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу.
Равные стороны Все четыре стороны имеют одинаковую длину. Противоположные стороны имеют равную длину.
Диагонали Диагонали делят пополам друг на друга под прямым углом, образуя разносторонний треугольник. Диагонали делят пополам друг на друга, образуя два конгруэнтных треугольника.
Площадь (pq) / 2, где p и q — диагонали bh, где b = основание и h = высота
периметр 4 а, где а = сторона 2 (a + b), где a = сторона, b = основание

Определение ромба

Четырехугольник, длина сторон которого совпадает, называется ромбом. Он имеет плоскую форму и имеет четыре стороны; причем лицевые стороны параллельны друг другу (см. рисунок, приведенный ниже).

<center></center> Противоположные углы ромба равны, т.е. одинаковой степени. Его диагонали встречаются друг с другом под углом 90 градусов (под прямым углом), следовательно, перпендикулярны друг другу и образуют два равносторонних треугольника. Его смежные стороны являются дополнительными, что означает, что сумма их меры равна 180 градусам. Он также известен как равносторонний параллелограмм.

Определение параллелограмма

Параллелограмм, как следует из его названия, описывается как плоская фигура, имеющая четыре стороны, чьи противоположные стороны параллельны и конгруэнтны (см. Рисунок ниже).

<center></center> Мера его углов наклона равна, и последующие углы являются дополнительными, то есть сумма их меры равна 180 градусам. Его диагонали делят пополам, образуя два конгруэнтных треугольника.

Ключевые различия между ромбом и параллелограммом

Различие между ромбом и параллелограммом может быть четко показано на следующих основаниях:

  1. Мы определяем ромб как четырехгранный четырехугольник плоской формы, длина всех сторон которого совпадает. Параллелограмм — это четырехгранная плоская фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу.
  2. Все стороны ромба равны по длине, тогда как только противоположные стороны параллелограмма равны.
  3. Диагонали ромба делят друг на друга под прямым углом, образуя два разносторонних треугольника. В отличие от параллелограмма, диагонали которого делят пополам друг на друга, образуя два конгруэнтных треугольника.
  4. Математическая формула для площади ромба (pq) / 2, где p и q — диагонали. Наоборот, площадь параллелограмма может быть рассчитана путем умножения основания и высоты.
  5. Периметр ромба можно рассчитать с помощью следующей формулы — 4 a, где a = сторона ромба. Напротив, периметр параллелограмма можно рассчитать путем сложения базы и высоты и умножения суммы на 2.

Заключение

И параллелограмм, и ромб четырехугольные, у которых лицевые стороны параллельны, противоположные углы равны, сумма внутренних углов равна 360 градусам. Сам ромб — это особый параллелограмм. Поэтому можно сказать, что каждый ромб является параллелограммом, но обратное невозможно.

Используемые источники:

  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/rhombus/
  • https://academyege.ru/page/romb.html
  • https://ktonanovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/romb-chto-ehto-takoe-svojstva-priznaki.html
  • https://wiki2.org/ru/ромб
  • https://ru.gadget-info.com/difference-between-rhombus

</li>