Калькулятор золотого сечения

Золотое сечение — это особое соотношение сторон фигуры, которое наиболее приятно для созерцания. Это число известно с античных времен, а ученые эпохи Возрождения называли его божественной пропорцией. Число Фи — золотое сечение, приблизительно равное 1,618.

История

Особую красоту деления отрезка на стороны в соотношении 1/1,618 заметили еще античные ученые. Евклид в своих началах использовал этот метод при построении пентагона, а пифогорейцы рассматривали весь мир как царство математической гармонии и уделяли большое внимание соотношению 1/1,618. В 1202 году Леонардо Фибоначчи вывел особую последовательность, отношение членов которой стремилось к числу Фибоначчи. Лука Пачоли, один из величайших алгебраистов Италии, назвал это соотношение божественной пропорцией, связав свойства бога с числом Фи. Именно с этого момента золотое сечение начало активно использоваться в работах художников эпохи Возрождения и получило буквально мистический статус. По словам Кеплера, число Фи — бесценная жемчужина математики.

Число Фи в математике

Золотое сечение часто встречается в геометрии. Золотой прямоугольник — фигура на плоскости, длина и ширина которой соотносятся как 1/1,618. Примечательное свойство такого прямоугольника состоит в том, что при удалении из фигуры любого квадрата образуется новый прямоугольник с точно таким же соотношением сторон. Стоит упомянуть и пентаграмму — звездчатый многоугольник, стороны которого пересекаются в соответствии с правилом золотого сечения.

В арифметике число Фи встречается в упоминаемой выше последовательности Фибоначчи, так как lim(Fn/Fn-1) -> Фи. Кроме того, золотое сечение имеет интересное представление в других формах записи. Так, Фи представляется как бесконечная цепочка квадратных корней из единицы. А если привести Фи к цепному виду, то получится бесконечная дробь вида [1; 1, 1, 1, 1, 1…]

Число Фи в реальности

Мистический ореол вокруг золотого сечения возник благодаря такому явлению как «золотой числизм». Энтузиасты, задавшиеся целью найти эту пропорцию в как можно большем количестве реальных объектов или явлений, часто подгоняли результаты. К примеру, храм Парфенон всегда присутствует в списке объектов, которые построены с учетом божественной пропорции. Однако на деле соотношение ширины храма к его высоте составляет 1,74, а если исключить фронтон, то и вовсе 3.

После придания числу божественных свойств, многие художники и музыканты начали сознательно использовать это соотношение в своих работах. Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Иоганн Бах, Ле Корбюзье, Густав Фехнер намеренно придавали своим произведениям форму, соответствующую числу Фи. Одним из современных примеров использования золотого сечения является мозаика Пенроуза — метод непериодического разбиения плоскости.

Несмотря на явное преувеличение свойств золотой пропорции, она все же встречается в реальности. Большинство спиралевидных объектов связны с числом Фи: раковины моллюсков, атмосферные вихри и даже галактики действительно соответствуют божественной пропорции.

Калькулятор золотого сечения

Если вы хотите использовать божественную пропорцию в своей работе, то наш калькулятор к вашим услугам. Для определения сторон золотого прямоугольника вам понадобится ввести одну из сторон, а программа определит вторую, соответствующую правилу золотого сечения. Прелесть калькулятора состоит в том, что он не просто умножает сторону на 1,618, а подбирает целое значение. Именно поэтому вам потребуется оперировать целыми числами, что удобно на практике.

Пример из реальной жизни

Живопись

Допустим, вы хотите сделать приятную с точки зрения математики картину, следовательно, вам нужно нарисовать ее на золотом прямоугольнике. Вам потребуется заказать холст определенного размера, и чтобы определить его размеры, используйте наш калькулятор. Пусть вы хотите писать на холсте, длина которого составит 120 см. Как узнать необходимую ширину? Введите это значение в ячейку A и получите ответ, равный 74 см.

Заключение

Божественная пропорция — мистическое соотношение, которое занимает умы математиков уже несколько тысячелетий. Возможно, именно число Фи содержит ответы на вечные вопросы о тайнах мироздания. Если вам потребуется создать объекты, соответствующие золотому сечению, используйте наш калькулятор, при помощи которого вы сможете подобрать целые числа.

Этот алгоритм используется для нахождения минимума функции. Если необходимо найти нули функции, то используется другой алгоритм. Не всегда можно определить заранее, сколько раз придется вычислять функцию. Метод золотого сечения почти столь же эффективен при n-2, что и метод Фибоначчи, однако при этом не требуется знать n – количество вычислений функции. Сущность этого метода заключается в следующем. Интервал неопределенности делится на две неравные части так, что отношение длины большего отрезка к длине всего интервала равно отношению длины меньшего отрезка к длине большего (рис 3). golden-image001.jpgгде П„ — «золотое сечение» golden-image002.jpg На каждом шаге этой итеративной процедуры, кроме первого, вычисляется только одно значение функции. Однако Химмельблау рекомендовал вычислять на каждом шаге две точки, для того чтобы не накапливалась погрешность, так как П„ имеет приближенное значение (рис 4). Если длина конечного интервала неопределенности равна Оґ, то для достижения требуемой точности число вычислений значений функции по методу золотого сечения можно найти по условию

Пример. Методом золотого сечения найти точку минимума x* функции f(x) на отрезке [a;b] с точностью Оµ и значение целевой функции в этой точке: f(x)=x4+2x2+4x+1=0, [-1;0], Оµ=0.1 Решение. Положим a1 = a, b1 = b. Вычислим О»1 = a1 + (1- 0.618)(b1 — a1), Ој1 = a1 + 0.618(b1 — a1).Вычислим f(О»1) = -0.5623, f(Ој2) = -0.2149 Итерация №1.Поскольку f(О»1) < f(Ој1), то b2 = -0.382, a2 = a1, Ој2 = -0.618Ој2 = a2 + 0.618(b2 — a2) = -1 + 0.618(-0.382 +1), f(Ој2) = f(-0.618) = -0.2149Итерация №2.Поскольку f(О»2) > f(Ој2), то a3 = -0.7639, b3 = b2, О»3 = -0.618Ој3 = a3 + 0.618(b3 — a3) = -0.7639 + 0.618(-0.382 +0.7639), f(Ој3) = f(-0.5279) = -0.5623 Итерация №3.Поскольку f(О»3) < f(Ој3), то b4 = -0.5279, a4 = a3, Ој4 = -0.618Ој4 = a4 + 0.618(b4 — a4) = -0.7639 + 0.618(-0.5279 +0.7639), f(Ој4) = f(-0.618) = -0.4766 Итерация №4.Поскольку f(О»4) < f(Ој4), то b5 = -0.618, a5 = a4, Ој5 = -0.6738Ој5 = a5 + 0.618(b5 — a5) = -0.7639 + 0.618(-0.618 +0.7639), f(Ој5) = f(-0.6738) = -0.5623Остальные расчеты сведем в таблицу.

N an bn bn-an О»n Ојn F(О»n) F(Ојn)
1 -1 1 -0.618 -0.382 -0.5623 -0.2149
2 -1 -0.382 0.618 -0.7639 -0.618 -0.548 -0.5623
3 -0.7639 -0.382 0.3819 -0.618 -0.5279 -0.5623 -0.4766
4 -0.7639 -0.5279 0.236 -0.6738 -0.618 -0.5811 -0.5623
5 -0.7639 -0.618 0.1459 -0.7082 -0.6738 -0.5782 -0.5811
6 -0.7082 -0.618 0.09018 -0.6738 -0.6524 -0.5811 -0.5772

Находим x как середину интервала [a,b]: x=(-0.618-0.70818104)/2 = -0.66309052. Ответ: x = -0.66309052; F(x) = -0.57965758

Золотое сечение (лат. Sectio aurea) — термин, знакомый многим. Освежим немного нашу память, друзья!

Золотое сечение, или золотая пропорция — идеальное соотношение величин, лежащее в основе гармонии природы и человека. «Золотое сечение» имеет массу удивительных свойств (из разряда «Ух, ты! Занимательная геометрия»), возможно, именно поэтому, ему приписывается некое божественное происхождение и ряд вымышленных свойств.

Если выражаться сухо по-научному, то ЗС — это соотношение величин или отрезков, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к большей части. Приблизительное округленное процентное соотношение частей — 62% и 38%.

Числовая величина золотого сечения – 1, 6180339887 (и это еще округление =)) до десятого знака!)

Пример золотого сечения в лучах пятиконечной звезды.

С Вашего позволения, я опущу многострочные математические фомулы и фомулировки =) Перейдем сразу к Прекрасному!

Зачатки этого понятия встречаются еще в античной литературе, датированной 300 гг. до нашей эры, а «божественная пропорция» широко применялась в трудах и работах мастеров Эпохи Возрождения. Иоган Кеплер, астроном 16 в. назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он впервые обращает внимание то, как проявляется ЗС в ботанике (рост растений и строение стеблей и соцветий).

В середине 19 в. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение лежит в основе некой среднестатистической пропорции человеческого тела. Деление тела точкой пупка – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 к 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к ЗС, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 к 5 = 1,6. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении всех частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

На протяжении веков существовало общеприянтое мнение, что рукотворные объекты, созданные с применением принципа ЗС, воспринимаются Человеком как наиболее гармоничные, совершенные. Пропорции золотого сечения можно выделить в проекциях египетских пирамид. Соотношение сторон плана Парфенона в Афинском Акрополе также являет собой не простое кратное число, а бесконечно дробное (догадайтесь, какое?). Таковыми же являются соотношение сторон планов и фасадов многих византийских церквей, романских готических соборов. Принято считать, что еще со времен Ренессанса многие художники и архитекторы сознательно используют принципы золотого сечения в своих творениях.

Золотое сечение на примере фасада храма Парфенона

Однако же, бытует и мнение, что значение ЗС в искусстве сильно преувеличенно, порой притянуто за уши исследователями, либо основано наошибочных расчетах. Тут каждый останется при своем. Помню, как на втором курсе в архитектурном нас, лопоухих, профессора пытались приобщить к прекрасному и долго-долго втолковывали про принципы золотого сечения в зодчестве, ряды Фибоначчи и прочее-прочее =)) Но настоящее понимание этой волшебной геометрии пришло ко мне много позже, при изучении бионики (один из стилей архитектуры), которая базируется именно на совершенстве природных форм. Согласитесь, мы не в силах оспаривать очевидное, а примеры идеальной пропорции встречаются сплошь и рядом: в раковинах аммонитов, в расположении ветвей на стебле растения, прожилках листьев. Ведь все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, осуществляло свое развитие в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали. И вообще, представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали: увеличение ее шага всегда равномерно.

Спираль Архимеда

Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке , семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Стебель цикория

Полюбуйтесь, как наглябно иллюстрирует природа принципы Золотого сечения! Совершенные спирали без изъян, соотношения витков которых строго соответсвует канонам и принципам построения ЗС.

© Copyright: Tihomir Balkonskiy

© Copyright: Kibardindesign

Материалы взяты из Интернета.

Текст преимущественно авторский =)

Спасибо за Ваше внимание, Даша Самаркина

[toggle title_open=”Close Me” title_closed=”Open Me” hide=”yes” border=”yes” style=”default” excerpt_length=”0″ read_more_text=”Read More” read_less_text=”Read Less” include_excerpt_html=”no”]Если вам знакомо правило третей и вы умеете ловко применять золотое сечение и ищете где применить свои дизайнерские умения, то пишите на почту normal.kz@gmail.com. Для вас всегда найдется работа.[/toggle]

Золотое сечение – это правило выбора соотношения высоты и ширины, например, при вёрстке текста и иллюстраций для достижения наиболее гармоничного, визуально приятного результата.

Правило основано на числах Фибоначчи  – это последовательность в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Их соотношение равно 1:1,61.

fibonaccigoldenrectangle.jpg
Геометрическое доказательство формулы для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи
golden-ratio1.png
Примеры золотого сечения

Это правило человечеством используется более 4000 тысяч лет. Оно применяется в дизайне, музыке и искусстве. Ниже приведены примеры из архитектуры и живописи.

panthenon.jpg
Пантеон. Золотое сечение

Тайная вечеря

Тайная вечеря. Золотое сечение

Золотое сечение в веб-дизайне

Твиттер. Золотое сечение
Логотип iCloud
Логотип iCloud. Золотое сечение

Золотое сечение в природе

Золотое сечение в природе

Немного практики.

Как нарисовать прямоугольник по правилу золотого сечения

Шаг 1. Рисуем квадрат. Длина стороны квадрата будет равна ширине будущего прямоугольника.

Шаг 1.

Шаг 2. Делим пополам квадрат вертикальной линией, получаем два прямоугольника.

Шаг 2

Шаг 3. В правом прямоугольнике проводим диагональ.

Шаг 3

 Шаг 4. Проводим горизонтальную линию, длина которой равна длине диагонали.

Шаг 4

Шаг 5. На базе горизонтальной линии строим прямоугольник.

Шаг 5

Использование золотого сечения в работе

Применять правило золотого сечения не так сложно как кажется. Тем более, что есть упрощенная версия этого правила – это правило третей.

Правило утверждает, что изображение должно рассматриваться разделенным на девять равновеликих частей с помощью двух равноудаленных параллельных горизонтальных и двух параллельных вертикальных линий. Важные части композиции должны быть расположены вдоль этих линий, или на их пересечении – в так называемых точках силы . Сторонники этого принципа утверждают, что выравнивание важных частей за этими точками и линиями создает впечатление акцентирования, большего напряжения, энергии и большей заинтересованности к композиции, чем простое расположение предмета съемки в центре кадра.

Правило третей активно используется в фотографии, видеосъемке и может легко применяться к интернет-страницам.

Если же вы хотите использовать золотое сечение в полной мере, то достаточно выдерживать соотношение сторон в пропорциях 1:1,6. Например, если на веб-странице контентный блок занимает 640 пикселей, то боковая панель (sidebar) будет шириной в 400 пикселей.

Использование золотого сечения для разметки вебстраницы

Инструменты для золотого сечения

  1. Калькулятор Golden Ratio Calculator
  2. goldenRATIO

  3. Golden Ratio Typography Calculator

  4. Phicalculator

  5. Atrise Golden Section

Написано на базе статьи: The Golden Ratio: a designer’s guide

Если вам знакомо правило третей и вы умеете ловко применять золотое сечение и ищете где применить свои дизайнерские умения, то пишите на почту normal.kz@gmail.com. Для вас всегда найдется работа.

[related_posts] [twitter style=”horizontal” float=”left”] [google_plusone size=”standard” annotation=”none” language=”English (UK)”]

Используемые источники:

  • https://bbf.ru/calculators/83/
  • https://math.semestr.ru/optim/golden.php
  • https://www.livemaster.ru/topic/405675-zolotoe-sechenie-bozhestvennaya-proportsiya
  • https://normal.kz/2013/08/zolotoe-sechenie/