Поток вектора магнитной индукции

Взаимосвязь электрических и магнитных полей замечена очень давно. Данную связь еще в 19 веке обнаружил английский ученый-физик Фарадей и дал ему название электромагнитной индукции. Она появляется в тот момент, когда магнитный поток пронизывает поверхность замкнутого контура. После того как происходит изменение магнитного потока в течение определенного времени, в этом контуре наблюдается появление электрического тока.

Содержание

Взаимосвязь электромагнитной индукции и магнитного потока

Суть магнитного потока отображается известной формулой: Ф = BS cos α. В ней Ф является магнитным потоком, S – поверхность контура (площадь), В – вектор магнитной индукции. Угол α образуется за счет направления вектора магнитной индукции и нормали к поверхности контура. Отсюда следует, что максимального порога магнитный поток достигнет при cos α = 1, а минимального – при cos α = 0.

Во втором варианте вектор В будет перпендикулярен к нормали. Получается, что линии потока не пересекают контур, а лишь скользят по его плоскости. Следовательно, определять характеристики будут линии вектора В, пересекающие поверхность контура. Для расчета в качестве единицы измерения используется вебер: 1 вб = 1в х 1с (вольт-секунда). Еще одной, более мелкой единицей измерения служит максвелл (мкс). Он составляет: 1 вб = 108 мкс, то есть 1 мкс = 10-8 вб. Для исследования электромагнитной индукции Фарадеем были использованы две проволочные спирали, изолированные между собой и размещенные на катушке из дерева. Одна из них соединялась с источником энергии, а другая – с гальванометром, предназначенным для регистрации малых токов. В тот момент, когда цепь первоначальной спирали замыкалась и размыкалась, в другой цепи стрелка измерительного устройства отклонялась.

Проведение исследований явления индукции

В первой серии опытов Майкл Фарадей вставлял намагниченный металлический брусок в катушку, подключенную к току, а затем вынимал его наружу (рис. 1, 2).

1 2

В случае помещения магнита в катушку, подключенную к измерительному прибору, в цепи начинает протекать индукционный ток. Если магнитный брусок удаляется из катушки, индукционный ток все равно появляется, но его направление становится уже противоположным. Следовательно, параметры индукционного тока будут изменены по направлению движения бруска и в зависимости от полюса, которым он помещается в катушку. На силу тока оказывает влияние быстрота перемещения магнита.

Во второй серии опытов подтверждается явление, при котором изменяющийся ток в одной катушке, вызывает индукционный ток в другой катушке (рис. 3, 4, 5). Это происходит в моменты замыкания и размыкания цепи. От того, замыкается или размыкается электрическая цепь, будет зависеть и направление тока. Кроме того, эти действия есть ни что иное, как способы изменения магнитного потока. При замыкании цепи он будет увеличиваться, а при размыкании – уменьшаться, одновременно пронизывая первую катушку.

3 4

5

В результате опытов было установлено, что возникновение электрического тока внутри замкнутого проводящего контура возможно лишь в том случае, когда они помещаются в переменное магнитное поле. При этом, поток индукции магнитного поля может изменяться во времени любыми способами.

Электрический ток, появляющийся под действием электромагнитной индукции, получил название индукционного, хотя это и не будет током в общепринятом понимании. Когда замкнутый контур оказывается в магнитном поле, происходит генерация ЭДС с точным значением, а не тока, зависящего от разных сопротивлений. Данное явление получило название ЭДС индукции, которую отражает формула: Еинд = – ∆Ф/∆t. Ее значение совпадает с быстротой изменений магнитного потока, пронизывающего поверхность замкнутого контура, взятого с отрицательным значением. Минус, присутствующий в данном выражении, является отражением правила Ленца.

Правило Ленца в отношении магнитного потока

Известное правило было выведено после проведения цикла исследований в 30-х годах 19 века. Оно сформулировано в следующем виде:

Направление индукционного тока, возбуждаемого в замкнутом контуре изменяющимся магнитным потоком, оказывает влияние на создаваемое им магнитное поле таким образом, что оно в свою очередь создает препятствие магнитному потоку, вызывающему появление индукционного тока.

Когда магнитный поток увеличивается, то есть становится Ф > 0, а ЭДС индукции снижается и становится Еинд < 0, в результате этого появляется электроток с такой направленностью, при которой под влиянием его магнитного поля происходит изменение потока в сторону уменьшения при его прохождении через плоскость замкнутого контура.

Если поток снижается, то наступает обратный процесс, когда Ф < 0 и Еинд > 0, то есть действие магнитного поля индукционного тока, происходит увеличение магнитного потока, проходящего через контур.

Физический смысл правила Ленца заключается в отражении закона сохранения энергии, когда при уменьшении одной величины, другая увеличивается, и, наоборот, при увеличении одной величины другая будет уменьшаться. Различные факторы влияют и на ЭДС индукции. При вводе в катушку поочередно сильного и слабого магнита, прибор соответственно будет показывать в первом случае более высокое, а во втором – более низкое значение. То же самое происходит, когда изменяется скорость движения магнита.

На представленном рисунке видно, как определяется направление индукционного тока с применением правила Ленца. Синий цвет соответствует силовым линиям магнитных полей индукционного тока и постоянного магнита. Они расположены в направлении полюсов от севера к югу, которые имеются в каждом магните.

Изменяющийся магнитный поток приводит к возникновению индукционного электрического тока, направление которого вызывает противодействие со стороны его магнитного поля, препятствующее изменениям магнитного потока. В связи с этим, силовые линии магнитного поля катушки направлены в сторону, противоположную силовым линиям постоянного магнита, поскольку его движение происходит в сторону этой катушки.

Для определения направления тока используется правило буравчика с правой резьбой. Он должен ввинчиваться таким образом, чтобы направление его поступательного движения совпадало с направлением индукционных линий катушки. В этом случае направления индукционного тока и вращения рукоятки буравчика будут совпадать.

Магнитный поток

Индукция магнитного поля

Плотность энергии магнитного поля

Магнитный двигатель

Опыт Эрстеда: магнитное поле тока

Контакторы и магнитные пускатели: сходства и различия

Содержание:

Определение 1

Магнитный поток <math><mfenced><mi>Φ</mi></mfenced></math> через площадку <math><mi>S</mi></math> (поток вектора магнитной индукции) – это скалярная величина:

<math><mi>Φ</mi><mo>=</mo><mi>B</mi><mi>S</mi><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><msub><mi>B</mi><mi>n</mi></msub><mi>S</mi><mo>=</mo><mover><mi>B</mi><mo>→</mo></mover><mover><mi>S</mi><mo>→</mo></mover></math> с углом между <math><mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>B</mi><mo>→</mo></mover></math>, обозначаемым <math><mi>α</mi></math>, <math><mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover></math> является нормалью к площадке <math><mi>S</mi></math>.

Формула магнитного потока

<math><mi>Φ</mi></math> равняется количеству линий магнитной индукции, пересекающих площадку <math><mi>S</mi></math>, как показано на рисунке <math><mn>1</mn></math>. Поток магнитной индукции по формуле принимает положительные и отрицательные значения. Его знак зависит от выбора положительного направления нормали к площадке <math><mi>S</mi></math>. Зачастую положительное направление нормали связано с направлением обхода контура током. За такое направление берут поступательное перемещение правого винта во время его вращения по току.

image021.png

Рисунок <math><mn>1</mn></math>

В чем измеряется магнитный поток

В случае неоднородности магнитного поля <math><mi>S</mi></math> не будет плоской, а плоскость может быть разбита на элементарные площадки <math><mi>d</mi><mi>S</mi></math>, рассматриваемые в качестве плоских, поле которых также считается однородным. Определение магнитного потока <math><mi>d</mi><mi>Φ</mi></math> производится через эту поверхность. Запись примет вид:

<math><mi>d</mi><mi>Φ</mi><mo>=</mo><mi>B</mi><mi>d</mi><mi>S</mi><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mover><mi>B</mi><mo>→</mo></mover><mi>d</mi><mover><mi>S</mi><mo>→</mo></mover></math>.

Нахождение полного потока через поверхность <math><mi>S</mi></math>:

<math><mi>Φ</mi><mo>=</mo><msub><mo>∫</mo><mi>S</mi></msub><mi>B</mi><mi>d</mi><mi>S</mi><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><msub><mo>∫</mo><mi>S</mi></msub><mover><mi>B</mi><mo>→</mo></mover><mi>d</mi><mover><mi>S</mi><mo>→</mo></mover></math>.

Основной единицей измерения магнитного потока в системе СИ считаются веберы <math><mo>(</mo><mi>В</mi><mi>б</mi><mo>)</mo></math>. <math><mn>1</mn><mo> </mo><mi>В</mi><mi>б</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo> </mo><mi>Т</mi><mi>л</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo> </mo><msup><mi>м</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></math>.

Связь магнитного потока и работы сил магнитного поля

Элементарная работа <math><mfenced><mrow><mi>δ</mi><mi>A</mi></mrow></mfenced></math>, совершаемая силами магнитного поля, выражается через элементарное изменение потока вектора магнитной индукции <math><mfenced><mrow><mi>d</mi><mi>Φ</mi></mrow></mfenced></math>:

<math><mi>δ</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mi>d</mi><mi>Φ</mi></math>.

Если проводник с током совершает конечное перемещение, сила тока постоянна, то работа сил поля равняется:

<math><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mfenced><mrow><msub><mi>Φ</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>Φ</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfenced></math> с <math><msub><mi>Φ</mi><mn>1</mn></msub></math>, обозначаемым потоком через контур в начале перемещения, <math><msub><mi>Φ</mi><mn>2</mn></msub></math> является  потоком через контур в конце перемещения.

Теорема Гаусса для магнитного поля

Значение суммарного магнитного потока через замкнутую поверхность <math><mi>S</mi></math> равняется нулю:

<math><mo>∮</mo><mover><mi>B</mi><mo>→</mo></mover><mi>d</mi><mover><mi>S</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo></math>.

Выражение <math><mo>∮</mo><mover><mi>B</mi><mo>→</mo></mover><mi>d</mi><mover><mi>S</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo></math> является справедливым для любых магнитных полей. Данное уравнение считается аналогом теоремы Остроградского-Гаусса в электростатике в вакууме:

<math><mo>∮</mo><mover><mi>E</mi><mo>→</mo></mover><mi>d</mi><mover><mi>S</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfrac><mi>q</mi><msub><mi>ε</mi></msub></mfrac></math>.

Запись <math><mo>∮</mo><mover><mi>B</mi><mo>→</mo></mover><mi>d</mi><mover><mi>S</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo></math> говорит о том, что источник магнитного поля – это не магнитные заряды, а электрические токи.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример 1

Дан бесконечно длинный прямой проводник с током <math><mi>I</mi></math>, недалеко от которого имеется квадратная рамка. По ней проходит ток с силой <math><mi>I</mi><mo>'</mo></math>. Сторона рамки равна <math><mi>a</mi></math>. Она располагается в одной плоскости с проводом, как показано на рисунке <math><mn>2</mn></math>. Значение расстояния от ближайшей стороны рамки до проводника равняется <math><mi>b</mi></math>. Найти работу магнитной силы при удалении рамки из поля. Считать токи постоянными.

image063.png

Рисунок <math><mn>2</mn></math>

Решение

Индукция магнитного поля длинного проводника с током в части, где расположена квадратная рамка, направляется на нас.

Следует учитывать нахождение рамки с током в неоднородном поле, что означает убывание магнитной индукции при удалении от провода.

За основу возьмем формулу магнитного потока и работы, которая их связывает:

<math><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mo>'</mo><mfenced><mrow><msub><mi>Φ</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>Φ</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfenced><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math>, где <math><mi>I</mi><mo>'</mo></math> принимают за силу тока в рамке, <math><msub><mi>Φ</mi><mn>1</mn></msub></math> – за поток через квадратную рамку при расстоянии от ее стороны к проводу равняющимся <math><mi>b</mi></math>. <math><msub><mi>Φ</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo></math>. Это объясняется тем, что конечное положение рамки вне магнитного поля, как дано по условию. Отсюда следует, запись формулы <math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> изменится:

<math><mi>A</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>I</mi><mo>'</mo><msub><mi>Φ</mi><mn>1</mn></msub><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math>.

Перейдем к нормали <math><mfenced><mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover></mfenced></math> и выберем ее направление к квадратному контуру относительно нас, используя правило правого винта. Отсюда следует, что для всех элементов поверхности, ограниченной при помощи контура квадратной рамки, угол между нормалью <math><mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover></math> и вектором <math><mover><mi>B</mi><mo>→</mo></mover></math> равняется <math><mi>π</mi></math>. Запись формулы потока через поверхность рамки на расстоянии <math><mi>х</mi></math> от провода примет вид:

<math><mi>d</mi><mi>Φ</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>B</mi><mi>d</mi><mi>S</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>B</mi><mo>·</mo><mi>a</mi><mo>·</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>I</mi><mi>l</mi><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math>, значение индукции магнитного поля бесконечно длинного проводника с током силы <math><mi>I</mi></math> будет:

<math><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mi>I</mi><mi>l</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math>.

Отсюда следует, что для нахождения всего потока из <math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math> потребуется:

<math><msub><mi>Φ</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mo>∫</mo><mi>S</mi></msub><mo>-</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>I</mi><mi>l</mi><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>I</mi><mi>l</mi><msubsup><mo>∫</mo><mi>b</mi><mrow><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>I</mi><mi>l</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mfrac><mrow><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow><mi>b</mi></mfrac><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></math>.

Произведем подстановку формулы <math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></math> в <math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math>. Искомая работа равняется:

<math><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mo>'</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>I</mi><mi>l</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mfrac><mrow><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow><mi>b</mi></mfrac></math>.

Ответ:<math><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>I</mi><mi>I</mi><mo>'</mo><mi>l</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mfrac><mrow><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow><mi>b</mi></mfrac></math>.

Пример 2

Найти силу, действующую на рамку, из предыдущего примера.

Решение

Для нахождения искомой силы, действующей на квадратную рамку с током в поле длинного провода, предположим, что под воздействием магнитной силы рамка смещается на незначительное расстояние <math><mi>d</mi><mi>x</mi></math>. Это говорит о совершении силой работы, равной:

<math><mi>δ</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>F</mi><mi>d</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math>.

Элементарная работа <math><mi>δ</mi><mi>A</mi></math> может быть выражена как:

<math><mi>δ</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mo>'</mo><mi>d</mi><mi>Φ</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math>.

Произведем то же с силой, применяя формулы <math><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math>. Получаем:

<math><mi>F</mi><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mo>'</mo><mi>d</mi><mi>Φ</mi><mo>→</mo><mi>F</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mo>'</mo><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>Φ</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math>.

Используем выражение, которое было получено в примере <math><mn>1</mn></math>:

<math><mi>d</mi><mi>Φ</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>I</mi><mi>l</mi><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac><mo>→</mo><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>Φ</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>I</mi><mi>l</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math>.

Произведем подстановку <math><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>Φ</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> в <math><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math>. Имеем:

<math><mi>F</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mo>'</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>I</mi><mi>l</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></math>.

Каждый элемент контура квадратной рамки находится под воздействием сил (силы Ампера). Отсюда следует, что на рамку действует <math><mn>4</mn></math> силы, причем на стороны <math><mi>A</mi><mi>B</mi></math> и <math><mi>D</mi><mi>C</mi></math> равные по модулю и противоположные по направлению. Выражение принимает вид:

<math><mover><msub><mi>F</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></msub><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><msub><mi>F</mi><mrow><mi>D</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></math>, то есть их сумма равняется нулю. Тогда значение результирующей силы, приложенной к контуру, запишется:

<math><mover><mi>F</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><msub><mi>F</mi><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi></mrow></msub><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><msub><mi>F</mi><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mo>→</mo></mover><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></math>.

Используя правило левой руки, получаем направление этих сил вдоль одной прямой в противоположные стороны:

<math><mi>F</mi><mo>=</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>7</mn><mo>)</mo></math>.

Произведем поиск силы <math><msub><mi>F</mi><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi></mrow></msub></math>, действующей на сторону <math><mi>A</mi><mi>D</mi></math>, применив формулу <math><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></math>, где <math><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>b</mi></math>:

<math><msub><mi>F</mi><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>I</mi><mo>'</mo><mfrac><msub><mi>м</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>I</mi><mi>l</mi></mrow><mi>b</mi></mfrac><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>8</mn><mo>)</mo></math>.

Значение <math><msub><mi>F</mi><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub></math> будет:

<math><msub><mi>F</mi><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>I</mi><mo>'</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>I</mi><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></math>.

Для нахождения искомой силы:

<math><mi>F</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mo>'</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>I</mi><mi>l</mi></mrow><mi>b</mi></mfrac><mo>-</mo><mi>I</mi><mo>'</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>I</mi><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>I</mi><mi>I</mi><mo>'</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi></msub><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mfenced><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>b</mi></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math>.

Ответ:<math><mi>F</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mi>I</mi><mo>'</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi></msub><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mfenced><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>b</mi></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math>. Магнитные силы выталкивают рамку с током до тех пор, пока она находится в первоначальной ориентации относительно поля провода.

Всё ещё сложно?Наши эксперты помогут разобратьсяВсе услугиРешение задач от 1 дня / от 150 р.Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.Реферат от 1 дня / от 700 р.

Определение и общие понятия потока магнитной индукции

ОПРЕДЕЛЕНИЕПотоком вектора магнитной индукции (или магнитным потоком) (dФ) в общем случае, через элементарную площадку quicklatex.com-1ca44d479fe319b2c53a75af22ebf252_l3.png называют скалярную физическую величину, которая равна:

quicklatex.com-5548fcafd784c2eb233d35fa101ee52b_l3.png

где quicklatex.com-02d27772bcf20db8d22b05191676ca66_l3.png – угол между направлением вектора магнитной индукции () и направлением вектора нормали () к площадке dS ().

Исходя из формулы (1), магнитный поток через произвольную поверхность S вычисляется (в общем случае), как:

Магнитный поток однородного магнитного поля сквозь плоскую поверхность можно найти как:

Для однородного поля, плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору магнитной индукции магнитный поток равен:

Поток вектора магнитной индукции может быть отрицательным и положительным. Это связано с выбором положительного направления . Очень часто поток вектора магнитной индукции связывают с контуром, по которому течет ток. В этом случае положительное направление нормали к контуру связано с направлением течения тока правилом правого буравчика. Тогда, магнитный поток, который создается контуром с током, сквозь поверхность, ограниченную этим контуром является всегда большим нуля.

Единица измерения потока магнитной индукции в международной системе единиц (СИ) – это вебер (Вб). Формулу (4) можно использовать для определения единицы измерения магнитного потока. Одним вебером называют магнитный поток, который проходит сквозь плоскую поверхность площадь, которой 1 квадратный метр, размещенную перпендикулярно к силовым линиям однородного магнитного поля:

Теорема Гаусса для магнитного поля

Теорема гаусса для потока магнитного поля отображает факт отсутствия магнитных зарядов, из-за чего линии магнитной индукции всегда замкнуты или уходят в бесконечность, у них нет начала и конца.

Формулируется теорема Гаусса для магнитного потока следующим образом: Магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность (S) равен нулю. В математическом виде данная теорема записывается так:

Получается, что теоремы Гаусса для потоков вектора магнитной индукции () и напряженности электростатического поля (), сквозь замкнутую поверхность, отличаются принципиальным образом.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Рассчитайте поток вектора магнитной индукции через соленоид, который имеет N витков, длину сердечника l, площадь поперечного сечения S, магнитную проницаемость сердечника . Сила тока, текущего через соленоид равна I.
Решение Внутри соленоида магнитное поле можно считать однородным. Магнитную индукцию легко найти, используя теорему о циркуляции магнитного поля и выбрав в качестве замкнутого контура (циркуляцию вектора по которому будем рассматривать (L)) прямоугольный контур (он будет охватывать все N витков). Тогда запишем (учитываем, что вне соленоида магнитное поле равно нулю, кроме того там, где контур L перпендикулярен линиям магнитной индукции В=0):

При этом магнитный поток сквозь один виток соленоида равен ():

Полный поток магнитной индукции, который идет через все витки:

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание Каким будет поток магнитной индукции через квадратную рамку, которая находится в вакууме в одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводником с током (рис.1). Две стороны рамки параллельны проводу. Длина стороны рамки составляет b, расстояние от одной из сторон рамки равно c.
Решение Выражение, при помощи которого можно определить индукцию магнитного поля будем считать известным (см. Пример 1 раздела «Магнитная индукция единица измерения»):

где x – расстояние от проводника, до точки, в которой рассматривается поле. Для нахождения искомого магнитного потока используем формулу:

где , поэтому выражение (2.2) преобразуется к виду:

Выделим на плоскости рамки элементарный участок dS, его площадь равна (см. рис.1):

Из рис.1 видно, что . Подставим (2.1) и (2.4) в (2.3), имеем:

Ответ Ф=

Для количественного описания явления электромагнитной индукции необходимо введение понятия магнитного потока. Рассмотрим эту тему подробнее.

magnitnyy-potok.jpg

Проводящая рамка в магнитном поле

Явление электромагнитной индукции состоит в том, что при изменении поля, пронизывающего проводящую рамку или катушку, в ней возникает электродвижущая сила (ЭДС):

fizika-132690-elektromagnitnaya-indukciya-opyt-faradeya.jpg

Рис. 1. Электромагнитная индукция, опыт Фарадея.

Энергия используемого в этом опыте магнитного поля характеризуется магнитной индукцией. Однако, при попытке описать наблюдаемое явление выяснилось, что одной этой величины мало.

Причиной этого оказался разный «охват поля» рамкой. Площадь длинной узкой рамки невелика, она «охватывает» малое «количество поля», и ЭДС в ней также мала. У квадратной рамки площадь при одинаковом периметре больше, а у круглого витка – она наибольшая, в результате рамка «охватывает» большее «количество поля», и ЭДС в такой рамке тоже получается больше.

Не менее важной оказалась ориентация рамки по отношению к направлению магнитного поля. Наибольшая ЭДС возникает, если проводящая рамка перпендикулярна линиям магнитной индукции. Если плоскость рамки параллельна этим линиям – то независимо от ее площади и силы магнитного поля ЭДС в рамке не возникнет.

Понятие магнитного потока

Таким образом, для описания явления электромагнитной индукции было введено понятие «магнитный поток», характеризующее «охват поля» рамкой. В этом понятии объединяются все величины, от которых зависит наведенная в рамке ЭДС – индукция поля, площадь и ориентация рамки. Для обозначения используется большая греческая буква Ф (фи):

$$Ф=BScosalpha$$

Таким образом, магнитный поток – это величина, равная произведению индукции магнитного поля, площади проводящего контура, и косинуса угла между нормалью к контуру и направлением линий индукции.

fizika-132690-magnitnyy-potok-f-bscosa.jpg

Рис. 2. Магнитный поток Ф=BScosa.

Из приведенной формулы магнитного потока можно вывести определение его единицы – вебер(Вб):

$$1Вб=1Тл×1м^2×cosalpha$$,

то есть, магнитный поток 1 Вебер – это магнитный поток, проходящий через рамку площадью 1 квадратный метр, которая ориентирована перпендикулярно линиям однородного магнитного поля с индукцией 1Тесла.

fizika-132690-magnitnyy-potok-zavisit-ot.jpg

Рис. 3. Магнитный поток зависит от…

Для понимания термина «магнитный поток» можно представить аналогию с обычным водяным потоком. Водяной поток, как правило, зависит от напора воды (аналог индукции) и площади сечения трубы (аналог площади рамки), а поскольку вода, в отличие от магнитного поля, всегда заключена внутрь трубы, то водяной поток всегда ориентирован поперек сечения трубы, и значение косинуса в формуле всегда равно единице.

Что мы узнали?

Для описания явления электромагнитной индукции в проводящем контуре необходимо учесть индукцию магнитного поля, «охват» поля контуром и ориентацию контура. Все эти факторы объединяются в понятии «магнитный поток». Изменение магнитного потока приводит к возникновению ЭДС в контуре. Постоянный магнитный поток ЭДС не вызывает.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Одно и то же магнитное поле при одинаковом изменении вызывает разные ЭДС в двух одинаково ориентированных контурах, если…</h3>

    • <label>контуры имеют разное электрическое сопротивление при одинаковой форме</label>
    • <label>контуры имеют разную площадь при одной форме (подобны)</label>
    • <label>контуры имеют разные формы при одной площади</label>
    • <label>нет правильного ответа</label>

(новая вкладка)Используемые источники:

  • https://electric-220.ru/news/izmenenie_magnitnogo_potoka/2018-02-17-1457
  • https://zaochnik.com/spravochnik/fizika/magnitnoe-pole/potok-vektora-magnitnoj-induktsii/
  • http://ru.solverbook.com/spravochnik/fizika/potok-magnitnoj-indukcii/
  • https://obrazovaka.ru/fizika/magnitnyy-potok-formula.html