Тригонометрические тождества

Содержание

Содержание:

В статье подробно рассказывается об основных тригонометрических тождествах.Эти равенства устанавливают связь между <math><mi>sin</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi></math> заданного угла. При известной одной функции можно через нее найти другую.

Тригонометрические тождества для рассмотрения в денной статье. Ниже покажем пример их выведения с объяснением.

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>

Связь между sin и cos одного угла

Поговорим о важном тригонометрическом тождестве, которое считается основой основ в тригонометрии.

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>

Заданные равенства <math><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> выводят из основного путем деления обеих частей на <math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></math> и <math><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></math>. После чего получаем <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> и <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> — это следствие определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Равенство <math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> является основным тригонометрическим тождеством. Для его доказательства необходимо обратиться к теме с единичной окружностью .

Пусть даны координаты точки <math><mi>А</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>)</mo></math>, которая после поворота на угол <math><mi>α</mi></math>становится в точку <math><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub></math>. По определению <math><mi>sin</mi></math> и <math><mi>cos</mi></math> точка <math><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub></math> получит координаты <math><mo>(</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math>. Так как <math><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub></math> находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворят условию <math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>1</mn></math> этой окружности. Выражение <math><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> должно быть справедливым. Для этого необходимо доказать основное тригонометрическое тождество для всех углов поворота <math><mi>α</mi></math>.

В тригонометрии выражение <math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> применяют как теорему Пифагора в тригонометрии. Для этого рассмотрим подробное доказательство.

Используя единичную окружность, поворачиваем точку <math><mi>А</mi></math> с координатами <math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>)</mo></math> вокруг центральной точки <math><mi>О</mi></math> на угол <math><mi>α</mi></math>. После поворота точка меняет координаты и становится равной <math><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub><mo>(</mo><mi>х</mi><mo>,</mo><mi>у</mi><mo>)</mo></math>. Опускаем перпендикулярную прямую <math><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub><mi>Н</mi></math> на <math><mi>О</mi><mi>х</mi></math> из точки <math><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub></math>.

На рисунке отлично видно, что образовался прямоугольный треугольник <math><mi>О</mi><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub><mi>Н</mi></math>. По модулю катеты <math><mi>О</mi><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub><mi>Н</mi></math> и <math><mi>О</mi><mi>Н</mi></math> равные, запись примет такой вид: <math><mo>|</mo><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub><mi>H</mi><mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo><mi>у</mi><mo>|</mo><mo>,</mo><mo>|</mo><mi>О</mi><mi>Н</mi><mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo><mi>х</mi><mo>|</mo></math>. Гипотенуза <math><mi>О</mi><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub></math> имеет значение равное радиусу единичной окружности, <math><mo>|</mo><mi>О</mi><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub><mo>|</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></math>. Используя данное выражение, можем записать равенство по теореме Пифагора: <math><mo>|</mo><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub><mi>Н</mi><msup><mo>|</mo><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo>|</mo><mi>О</mi><mi>Н</mi><msup><mo>|</mo><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo>|</mo><mi>О</mi><msub><mi>А</mi><mn>1</mn></msub><msup><mo>|</mo><mn>2</mn></msup></math>. Это равенство запишем как<math><mo> </mo><mo>|</mo><mi>y</mi><msup><mo>|</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>|</mo><mi>x</mi><msup><mo>|</mo><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mn>1</mn><mn>2</mn></msup></math>, что означает <math><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>1</mn></math>.

Используя определение <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mi>y</mi></math> и <math><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mi>x</mi></math>, подставим данные угла вместо координат точек и перейдем к неравенству <math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>.

Основная связь между <math><mi>sin</mi></math> и <math><mi>cos</mi></math> угла возможна через данное тригонометрическое тождество. Таким образом, можно считать sin угла с известным cos и наоборот. Чтобы выполнить это, необходимо разрешать <math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>1</mn></math> относительно <math><mi>sin</mi></math> и <math><mi>cos</mi></math>, тогда получим выражения вида <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mo>±</mo><msqrt><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></msqrt></math> и <math><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mo>±</mo><msqrt><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></msqrt></math> соответственно. Величина угла <math><mi>α</mi></math>определяет знак перед корнем выражения. Для подробного выяснения необходимо прочитать раздел вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

Чаще всего основную формулу применяют для преобразований или упрощений тригонометрических выражений. Имеется возможность заменять сумму квадратов синуса и косинуса на <math><mn>1</mn></math>. Подстановка тождества может быть как в прямом, так и обратном порядке: единицу заменяют на выражение суммы квадратов синуса и косинуса.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из определения косинуса и синуса, тангенса и котангенса видно, что они взаимосвязаны друг с другом, что позволяет отдельно преобразовывать необходимые величины.

<math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>

Из определения синус является ординатой <math><mi>у</mi></math>, а косинус – абсциссой <math><mi>x</mi></math>. Тангенс – это и есть отношения ординаты и абсциссы. Таким образом имеем:

<math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>y</mi><mi>x</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>, а выражение котангенса имеет обратное значение, то есть

<math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>x</mi><mi>y</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>.

Отсюда следует, что полученные тождества <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> и <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> задаются с помощью <math><mi>sin</mi></math> и <math><mi>cos</mi></math> углов. Тангенс считаются отношением синуса к косинусу угла между ними, а котангенс наоборот.

Отметим, что <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> и <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> верны для любого значение угла <math><mi>α</mi></math>, значения которого входят в диапазон. Из формулы <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> значение угла <math><mi>α</mi></math> отлично от <math><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math>, а <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> принимает значение угла <math><mi>α</mi></math>, отличные от <math><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math>, <math><mi>z</mi></math> принимает значение любого целого числа.

Связь между тангенсом и котангенсом

Имеется формула, которая показывает связь между углами через тангенс и котангенс. Данное тригонометрическое тождество является важным в тригонометрии и обозначается как <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>. Оно имеет смысл при <math><mi>α</mi></math> с любым значением, кроме <math><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>z</mi></math>, иначе функции будут не определены.

Формула <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> имеет свои особенности в доказательстве. Из определения мы имеем, что <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>y</mi><mi>x</mi></mfrac></math> и <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>x</mi><mi>y</mi></mfrac></math>, отсюда получаем <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>y</mi><mi>x</mi></mfrac><mo>·</mo><mfrac><mi>x</mi><mi>y</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math>. Преобразовав выражение и подставив <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> и <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>, получим <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>·</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math>.

Тогда выражение тангенса и котангенса имеет смысл того, когда в итоге получаем взаимно обратные числа.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам <math><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>.

Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и <math><mn>1</mn></math> приравнивается к дроби , где в числителе имеем <math><mn>1</mn></math>, а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству <math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>, можно разделить соответствующие стороны на <math><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></math> и получить <math><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>, где значение <math><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></math> не должно равняться нулю. При делении на <math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></math> получим тождество <math><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>, где значение <math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></math> не должно равняться нулю.

Из приведенных выражений получили, что тождество <math><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> верно при всех значениях угла <math><mi>α</mi></math>, не принадлежащих <math><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math>, а <math><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> при значениях <math><mi>α</mi></math>, не принадлежащих промежутку <math><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math>.

Всё ещё сложно?Наши эксперты помогут разобратьсяВсе услугиРешение задач от 1 дня / от 150 р.Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.Реферат от 1 дня / от 700 р.

Тождество – равенство, верное при любых значениях переменных, кроме тех при которых какая-либо часть тождества не имеет смысла.

Примеры тождеств:

А вот выражение (frac{x^2}{x}=x) является тождеством только при условии (x≠0) (иначе левая часть не существует).

Как доказывать тождество?

Рецепт до одури прост:

Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду                    «выражение» = «такое же выражение».

Например,

Именно четвертый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все формулы тригонометрии нужно знать, помнить и уметь использовать.

Пример. Доказать тригонометрическое тождество (sin⁡2x=2sin⁡xcdot cos{x})Решение:

(sin⁡2x=2 sin⁡xcdot cos{x} )

               

(sin⁡(x+x)=2 sin{x} cos⁡x )

 

…и распишем по формуле для синуса суммы аргументов

(sin⁡xcos⁡x+sin{x} cos{x}=2 sin{x}cos⁡x)

 

А теперь приведем подобные слагаемые.

(2sin⁡x cos{x}=2sin{x} cos⁡x)

 

Пример. Доказать, что выражение (frac {cos^2{t}}{1-sin⁡{t}})(-sin{⁡t}=1) является тождеством.Решение:

(frac {cos^2{t}}{1-sin⁡{t}})(-sin{⁡t}=1)

               

Будем преобразовывать только левую часть. Приведем слагаемые к общему знаменателю.

(frac{cos^2{t}-sin{⁡t} (1-sin⁡{t})}{1-sin{⁡t} })(=1)

 

Раскроем скобки.

(frac{cos^2{t}-sin{⁡t}+sin^2⁡{t}}{1-sin{⁡t} })(=1)

 

Применим в числителе вездесущие основное тригонометрическое тождество: (sin^2⁡{x}+cos^2{⁡x}=1).

(frac{1-sin{⁡t}}{1-sin{⁡t} })(=1)

 

(1=1)

 

Пример. Доказать тригонометрическое тождество (1-tg^2 t=)(frac{cos⁡2t}{cos^2⁡t})Решение:

(1-tg^2 t=)(frac{cos⁡2t}{cos^2⁡t})

               

Здесь будем преобразовывать только правую часть, стремясь свести ее к левой. Левую же оставляем неизменной. Вспоминаем формулу двойного угла для косинуса.

(1-tg^2 t=)(frac{cos^2⁡t-sin^2⁡t}{cos^2⁡t})

 

Теперь сделаем почленное деление в дроби (т.е. применим правило для сложения дробей в обратную сторону): (frac{a+c}{b})(=) (frac{a}{b})(+)(frac{c}{b})

(1-tg^2 t=)(frac{cos^2⁡t}{cos^2⁡t})(-)(frac{sin^2⁡t}{cos^2⁡t})

 

Первую дробь правой части сократим, а ко второй применим свойство степени: (frac{a^n}{b^n}) (=)((frac{a}{b})^n).

(1-tg^2 t=1-)((frac{sin⁡t}{cos⁡t})^2)

 

Ну, а синус деленный на косинус равен тангенсу того же угла: 

(frac{sin⁡x}{cos⁡x})(=tg x)

(1-tg^2 t=1-tg^2 t)

 

Пример. Доказать тригонометрическое тождество (frac{cos⁡2t}{sin⁡tcdotcos⁡t+sin^2⁡t})(=ctg(π+t)-1) Решение:

(frac{cos⁡2t}{sin⁡tcdotcos⁡t+sin^2⁡t})(=ctg(π+t)-1)

               

Здесь будем преобразовывать обе части: — в левой: преобразуем (cos⁡2t) по формуле двойного угла; — а в правой (ctg(π+t)) по формуле приведения.

(frac{cos^2⁡t-sin^2⁡t}{sin⁡tcdotcos⁡t+sin^2⁡t})(=ctg:t-1)

 

Теперь работаем только с левой частью. В числителе воспользуемся формулой сокращенного умножения, в знаменателе вынесем за скобку синус. 

(frac{(cos⁡t-sin{t})(cos⁡t+sin{t})}{sin⁡t(cos⁡t+sin⁡{t})})(=ctg:t-1)

 

Сократим дробь на (cos{⁡t}+sin{⁡t}).

(frac{cos⁡t-sin{t}}{sin⁡t})(=ctg:t-1)

 

Почленно разделим дробь, превратив ее в две отдельные дроби.

(frac{cos⁡t}{sin{t}}-frac{sin{t}}{sin{t}})(=ctg:t-1)

 

Первая дробь это котангенс, а вторая равна единице.

(ctg:t-1=ctg:t-1)

 

Как видите, все довольно несложно, но надо знать все формулы и свойства.

Как доказать основное тригонометрическое тождество

Два простых способа вывести формулу (sin^2x+cos^2x=1). Нужно знать только теорему Пифагора и определение синуса и косинуса.

Ответы на часто задаваемые вопросы:

Вопрос: Как определить, что в тождестве надо преобразовывать – левую часть, правую или обе вместе? Ответ: Нет никакой разницы – в любом случае вы получите один и тот же результат. Например, в третьем примере мы легко могли бы получить из левой части (1-tg^2 t) правую (frac{cos⁡2t}{cos^2⁡t}) (попробуйте сделать это сами). Или преобразовывать обе, с тем чтоб они «встретились посередине», где-то в районе (frac{cos^2⁡t-sin^2⁡t}{cos^2⁡t})(=)(frac{cos^2⁡t-sin^2⁡t}{cos^2⁡t}). Поэтому вы можете доказывать любым удобным вам способом. Какую «тропинку» видите – по той и идите. Главное только – преобразовывайте «законно», то есть понимайте на основании какого свойства, правила или формулы вы делаете очередное преобразование.

Смотрите также:ТождествоКак доказать тождество

Скачать статью

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

[ sin^{2}alpha + cos^{2} alpha = 1 ]

[ tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha}, enspace ctg alpha = dfrac{cos alpha}{sin alpha} ]

[ tg alpha cdot ctg alpha = 1 ]

[ dfrac{1}{cos^{2}alpha} = tg^{2} alpha]

[ dfrac{1}{sin^{2}alpha} = ctg^{2} alpha]

Четность, нечетность тригонометрических функций

[ sin left ( — alpha right ) = — sin left ( alpha right ) ]

[ cos left ( — alpha right ) = cos left ( alpha right ) ]

[ tg left ( — alpha right ) = — tg left ( alpha right ) ]

[ ctg left ( — alpha right ) = ctg left ( alpha right ) ]

Зависимость между синусом и косинусом

[ sin^{2} alpha+cos^{2} alpha=1 ]

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

[ tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha},enspace ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ]

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой ( dfrac{y}{x}=dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), а отношение ( dfrac{x}{y}=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов ( alpha ), при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ).

Например: ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ) является справедливой для углов ( alpha ), которые отличны от ( dfrac{pi}{2}+pi z ), а ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — для угла ( alpha ), отличного от ( pi z ), ( z ) — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

[ tg alpha cdot ctg alpha=1 ]

Данное тождество справедливо только для таких углов ( alpha ), которые отличны от ( dfrac{pi}{2} z ). Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что ( tg alpha = dfrac{y}{x} ), а ( ctg alpha=dfrac{x}{y} ). Отсюда следует, что ( tg alpha cdot ctg alpha = dfrac{y}{x} cdot dfrac{x}{y}=1 ). Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

( tg^{2} alpha + 1=dfrac{1}{cos^{2} alpha} ) — сумма квадрата тангенса угла ( alpha ) и ( alpha ), отличных от ( dfrac{pi}{2}+ pi z ).

( 1+ctg^{2} alpha=dfrac{1}{sin^{2}alpha} ) — сумма ( alpha ), равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого ( alpha ), отличного от ( pi z ).

Формулы приведения

<math><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi></math>

Формулы понижения степени

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mn>3</mn><mi>α</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>3</mn><mi>α</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><msup><mi>sin</mi><mn>4</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mn>8</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>4</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mn>8</mn></mfrac></math>

Интересуетесь топовыми гаджетами и популярными технологическими новинками?👍 Подписывайтесь на телеграм канал @upkitai ( ссылка t.me/upkitai )

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы вспомним, что основным тригонометрическим тождеством называют равенство: image001.png.

Следующими формулами можно записать зависимость между синусом и косинусом, тангенсом и котангенсом, тангенсом и косинусом: image002.png, image003.png, image004.png, , , .

Докажем с вами, что при , где , справедливо равенство: .

Доказательство. Мы с вами знаем, что по определению . В левой части равенства  запишем  как :  [приведём слагаемые к общему знаменателю ]  [по основному тригонометрическому тождеству числитель равен ] . Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства  к правой.

Так как делить на нуль нельзя, то , то есть , где .

Равенство  показывает нам зависимость между котангенсом и синусом.

Запомните! Равенство , справедливое при всех допустимых значениях входящих в него букв (то есть таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называют тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Доказанное тождество называют тригонометрическим тождеством.

Всегда ли при доказательстве тригонометрических тождеств нужно указывать допустимые значения углов? При доказательстве тригонометрических тождеств или при упрощении тригонометрических выражений чаще всего не указывают допустимые значения углов, если это не требуется в условии задачи.

Давайте докажем вот такое тождество: .

Доказательство. Запишем правую часть нашего тождества:  [применим формулу разности квадратов] [по основному тригонометрическому тождеству выражение во вторых скобках равно ] .

Получается, что мы доказали данное тождество, преобразовав его правую часть к левой? Верно.

Докажем следующее тождество: .

Чтобы доказать это тождество, мы докажем, что разность между его левой и правой частями равна нулю. Итак, запишем разность его левой и правой частей:  [так как , а , то запишем в наше выражение вместо  и  эти отношения]  [приведём дроби в знаменателе первого слагаемого к общему знаменателю. Затем приведём к общему знаменателю дроби в знаменателе второго слагаемого]  [в первом слагаемом разделим единицу на дробь в знаменателе. Во втором слагаемом разделим выражение в числителе на дробь в знаменателе]  [по основному тригонометрическому тождеству знаменатель первого слагаемого равен . Во втором слагаемом сократим числитель и знаменатель на ] . Таким образом, мы получили разность, которая равна нулю, то есть доказали наше тождество.

И докажем вот такое тождество: .

Доказательство. Преобразуем левую часть данного тождества. . Тогда : [теперь приведём это выражение к общему знаменателю ]  [вынесем в числителе ]  [из основного тригонометрического тождества следует, что . Тогда подставим в наше выражение  вместо ]  [выполним умножение в числителе] .

Теперь преобразуем правую часть нашего тождества. Здесь также :  [выполним умножение] .

Итак, вы, наверное, обратили внимание, что при доказательстве тождеств мы с вами применяли следующие способы: преобразование левой части тождества к правой. И, наоборот, преобразование правой части тождества к левой. Установление того, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю. Преобразование левой и правой частей тождества к одному и тому же выражению.

А сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Докажите тождество: .

Доказательство.

Задание второе. Упростите выражения: а) ; б) ;  .

Решение.

Опубликовано 24.02.2016 — 23:14 —

Урок изучения нового материала. Цель данного урока: познакомить учащихся с понятием тождества, научить доказывать тригонометрические тождества.

Скачать:

Вложение Размер
x-office-document.pngtrigonometricheskie_tozhdestva.docx 125.34 КБ

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Тригонометрические тождества».

Тип урока: Формирование умений и навыков.

Цели  урока:

Образовательные:

Повторение и закрепление понятия тождества на примере тригонометрических формул, как равенства справедливого для всех допустимых значений букв, обучение доказательству тождеств с использованием изученных формул

Развивающие:

развивать у учеников математическую речь, способствовать развитию логического мышления, умению оценивать свою работу;

 развивать навыки самостоятельной работы при выполнении различных заданий на уроке.

Воспитательные:

воспитывать интерес к математике, дисциплинированность, толерантность, ответственное отношение к учебному труду,  ответственность не только за собственные знания, но и за успехи своих одноклассников.

ХОД УРОКА

I . Организационный момент

1) Продолжить фразу:

  • «2» в квадрате – 4
  • «3» в квадрате – 9
  • «5» в квадрате – 25

угол в квадрате — 90°

2) Продолжить фразу:

  • Синусом называется … (ордината точки, лежащей на единичной окружности)
  • Косинусом называется … (абсцисса точки, лежащей на единичной окружности)

3) Продолжить фразу:

«Жизнь украшается двумя вещами: преподаванием математики и ее…» (изучением).

Вот и будем украшать нашу жизнь – я – преподаванием, вы – изучением.

Цель сегодняшнего урока:

  1. Повторить понятие тождества и учиться применять его для доказательства тригонометрических тождеств и разобрать все способы доказательство.

II.  Проверка домашнего задания

По ранее записанному на доске решению устно объяснить. (или через документ –камеру)

III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

1 задание: дописать формулы.

<tably>Ι вариант

ΙΙвариант

</td></tr>

<irc>Конспект урока по алгебре в 8 классе » Преобразование рациональных выражений».

Урок обобщения знаний о действиях с дробями. На уроке применяется индивидуальная, фронтальная и групповая виды работ….

picture-182020-1358532796.pngОткрытый урок по алгебре 7 класс «Тождества»

Открытый урок и презентация по теме «Тождества» 7 класс…

picture-316668-1382289850.jpgПлан-конспект урока по алгебре (7 класс) .Урок по теме: «Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения.»

Урок обобщения и закрепления по теме:»Разложение многочлена на множители с помощью формул  сокращённого умножения.» На уроке отрабатываются навыки применения формул при решении уравнений , а так …

picture-453047-1412418603.jpgКонспект урока по алгебре в 7 классе. Тема урока «Линейные уравнения».

Конспект урока по алгебре в 7 классе. Тема урока «Линейные уравнения»….

picture-558970-1420441726.jpgКонспект урока по алгебре в 7 классе. Тема урока: «Линейная функция и ее график»

Цель урока: осуществить повторение, обобщение и систематизацию материала темы, выявить уровень усвоения знаний и умений.Задачи:        1) образовательная: выработка …

picture-558970-1420441726.jpgКонспект урока по алгебре в 7 классе. Тема урока: «Линейная функция и ее график»

Цель урока: осуществить повторение, обобщение и систематизацию материала темы, выявить уровень усвоения знаний и умений.Задачи:        1) образовательная: выработка …

Конспект урока по алгебре среди учащихся 7 класса Тема урока: Формулы сокращенного умножения

Цели: 1. Образовательная: закрепить знания учащихся о формулах сокращенного умножения, сформировать умения применения формул при решении уравнений и задач.2. Развивающая: развить познавательный интере…

  • Hравится«>Мне нравится(1)  Используемые источники:
    • https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/osnovnye-trigonometricheskie-tozhdestva/
    • http://cos-cos.ru/math/69/
    • https://calcsbox.com/post/osnovnye-trigonometriceskie-tozdestva.html
    • https://videouroki.net/video/26-trigonometricheskie-tozhdestva.html
    • https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2016/02/24/konspekt-uroka-po-algebre-v-10-klasse-trigonometricheskie

    </span></span>

</span></p></td></tr></tably></h2>