Теорема синусов

Содержание

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

[ sin^{2}alpha + cos^{2} alpha = 1 ]

[ tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha}, enspace ctg alpha = dfrac{cos alpha}{sin alpha} ]

[ tg alpha cdot ctg alpha = 1 ]

[ dfrac{1}{cos^{2}alpha} = tg^{2} alpha]

[ dfrac{1}{sin^{2}alpha} = ctg^{2} alpha]

Четность, нечетность тригонометрических функций

[ sin left ( — alpha right ) = — sin left ( alpha right ) ]

[ cos left ( — alpha right ) = cos left ( alpha right ) ]

[ tg left ( — alpha right ) = — tg left ( alpha right ) ]

[ ctg left ( — alpha right ) = ctg left ( alpha right ) ]

Зависимость между синусом и косинусом

[ sin^{2} alpha+cos^{2} alpha=1 ]

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

[ tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha},enspace ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ]

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой ( dfrac{y}{x}=dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), а отношение ( dfrac{x}{y}=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов ( alpha ), при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ).

Например: ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ) является справедливой для углов ( alpha ), которые отличны от ( dfrac{pi}{2}+pi z ), а ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — для угла ( alpha ), отличного от ( pi z ), ( z ) — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

[ tg alpha cdot ctg alpha=1 ]

Данное тождество справедливо только для таких углов ( alpha ), которые отличны от ( dfrac{pi}{2} z ). Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что ( tg alpha = dfrac{y}{x} ), а ( ctg alpha=dfrac{x}{y} ). Отсюда следует, что ( tg alpha cdot ctg alpha = dfrac{y}{x} cdot dfrac{x}{y}=1 ). Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

( tg^{2} alpha + 1=dfrac{1}{cos^{2} alpha} ) — сумма квадрата тангенса угла ( alpha ) и ( alpha ), отличных от ( dfrac{pi}{2}+ pi z ).

( 1+ctg^{2} alpha=dfrac{1}{sin^{2}alpha} ) — сумма ( alpha ), равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого ( alpha ), отличного от ( pi z ).

Формулы приведения

<math><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi></math>

Формулы понижения степени

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mn>3</mn><mi>α</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>3</mn><mi>α</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><msup><mi>sin</mi><mn>4</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mn>8</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>4</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mn>8</mn></mfrac></math>

Интересуетесь топовыми гаджетами и популярными технологическими новинками?👍 Подписывайтесь на телеграм канал @upkitai ( ссылка t.me/upkitai )

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

sin^{2}alpha + cos^{2} alpha = 1

tg alpha = frac{sin alpha}{cos alpha}, enspace ctg alpha = frac{cos alpha}{sin alpha}

tg alpha cdot ctg alpha = 1

Зависимость между синусом и косинусом

sin^{2} alpha+cos^{2} alpha=1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg alpha = frac{sin alpha}{cos alpha},enspace ctg alpha=frac{cos alpha}{sin alpha}

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению frac{y}{x}=frac{sin alpha}{cos alpha}, а отношение frac{x}{y}=frac{cos alpha}{sin alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов alpha, при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества tg alpha = frac{sin alpha}{cos alpha}, ctg alpha=frac{cos alpha}{sin alpha}.

Например: tg alpha = frac{sin alpha}{cos alpha} является справедливой для углов alpha, которые отличны от frac{pi}{2}+pi z, а ctg alpha=frac{cos alpha}{sin alpha} — для угла alpha, отличного от pi z, z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg alpha cdot ctg alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов alpha, которые отличны от frac{pi}{2} z. Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg alpha = frac{y}{x}, а ctg alpha=frac{x}{y}. Отсюда следует, что tg alpha cdot ctg alpha = frac{y}{x} cdot frac{x}{y}=1. Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg^{2} alpha + 1=frac{1}{cos^{2} alpha} — сумма квадрата тангенса угла alpha и 1, равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех alpha, отличных от frac{pi}{2}+ pi z.

1+ctg^{2} alpha=frac{1}{sin^{2}alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла alpha, равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого alpha, отличного от pi z.

Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств

Пример 1

Найдите sin alpha и tg alpha, если cos alpha=-frac12 и frac{pi}{2} < alpha < pi;

Показать решение

Решение

Функции sin alpha и cos alpha связывает формула sin^{2}alpha + cos^{2} alpha = 1. Подставив в эту формулу cos alpha = -frac12, получим:

sin^{2}alpha + left (-frac12 right )^2 = 1

Это уравнение имеет 2 решения:

sin alpha = pm sqrt{1-frac14} = pm frac{sqrt 3}{2}

По условию frac{pi}{2} < alpha < pi. Во второй четверти синус положителен, поэтому sin alpha = frac{sqrt 3}{2}.

Для того, чтобы найти tg alpha , воспользуемся формулой tg alpha = frac{sin alpha}{cos alpha}. Соответствующие величины нам известны.

tg alpha = frac{sqrt 3}{2} : frac12 = sqrt 3

Пример 2

Найдите cos alpha и ctg alpha, если sin alpha=frac{sqrt3}{2} и frac{pi}{2} < alpha < pi.

Показать решение

Решение

Подставив в формулу sin^{2}alpha + cos^{2} alpha = 1 данное по условию число sin alpha=frac{sqrt3}{2}, получаем left (frac{sqrt3}{2}right )^{2} + cos^{2} alpha = 1. Это уравнение имеет два решения cos alpha = pm sqrt{1-frac34}=pmsqrtfrac14.

По условию frac{pi}{2} < alpha < pi. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому cos alpha = -sqrtfrac14=-frac12.

Для того, чтобы найти ctg alpha , воспользуемся формулой ctg alpha = frac{cos alpha}{sin alpha}. Соответствующие величины нам известны.

ctg alpha = -frac12 : frac{sqrt3}{2} = -frac{1}{sqrt 3}.

Содержание:

Основные формулы тригонометрии — это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

Тригонометрические тождества

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>a</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mi>α</mi></mrow></mfrac><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

Формулы приведения

<math><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi></math>

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

<math><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>±</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>±</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>+</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>±</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>±</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>β</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>±</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>β</mi></mrow></mfrac><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>±</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>±</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>±</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>β</mi></mrow></mfrac></math>

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла. 

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы двойного и тройного угла

<math><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo> </mo><mi>с</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>с</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>с</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo> </mo><mi>sin</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>sin</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>4</mn><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mi>cos</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></mrow></mfrac><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>3</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>3</mn><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math>

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mstyle><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>2</mn></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>2</mn></mstyle></mfrac><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mstyle><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>2</mn></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mstyle></mfrac><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mstyle><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>2</mn></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></mstyle></mfrac></math>

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mn>3</mn><mi>α</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>3</mn><mi>α</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><msup><mi>sin</mi><mn>4</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mn>8</mn></mfrac><msup><mi>cos</mi><mn>4</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mn>8</mn></mfrac></math>

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

для четных n

<math><msup><mi>sin</mi><mi>n</mi></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><msubsup><mi>C</mi><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo></mrow><mrow><mstyle><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>·</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>)</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><msup><mi>cos</mi><mi>n</mi></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><msubsup><mi>C</mi><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo></mrow><mstyle><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mn>1</mn></mstyle></munderover><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>)</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math>

для нечетных n

<math><msup><mi>sin</mi><mi>n</mi></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo></mrow><mstyle><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mstyle></munderover><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>·</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>)</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><msup><mi>cos</mi><mi>n</mi></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo></mrow><mstyle><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mstyle></munderover><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>)</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></math>

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

<math><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>cos</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mi>β</mi><mo>-</mo><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></math>

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

<math><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></math>

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и котангенс, — могут быть выражены через тангенс половинного угла. 

Универсальная тригонометрическая подстановка

<math><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math>

Всё ещё сложно?Наши эксперты помогут разобратьсяВсе услугиРешение задач от 1 дня / от 150 р.Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.Реферат от 1 дня / от 700 р.

Содержание:

Данная статья посвящена разбору такой темы, как универсальная тригонометрическая подстановка. Суть данного термина состоит в том, что мы находим значение любой тригонометрической функции (<math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math>) через формулу тангенса половинного угла. Этот вариант намного проще и рациональнее, так как выполнять дальнейшие вычисления легче без корней, а с целыми числами.

Мы подробно рассмотрим этот раздел. Для начала мы расскажем вам о формулах тангенса половинного угла, которой мы будем часто пользоваться. После мы перейдем к практическому применении формул, рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Универсальная тригонометрическая подстановка для <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math>

Во введении мы рассказали, что основной темой этого раздела станет основная тригонометрическая подстановка. Для начала запишем и разберем формулы, с помощью которых можно выразить <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math> через тангенс половинного угла <math><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></math> .

<math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math>

Указанные формулы будут правильны для всех углов <math><mi>α</mi></math> . Для работы в задаче должен быть определен входящие тангенсы и котангенсы.

Формулы для <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math> и <math><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math>, <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math> и <math><mo> </mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math> имеют место для <math><mi>a</mi><mo>≠</mo><mi>π</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math> , где <math><mi>z</mi></math> – любое целое число, так как при <math><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>π</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math>,  <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></math> не определен.

Формула <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math> справедлива для <math><mi>α</mi><mo>≠</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math> и <math><mi>a</mi><mo>≠</mo><mi>π</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math> , так как при <math><mi>a</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math> не определен <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math>Знаменатель дроби обращается в нуль, а при <math><mi>α</mi><mo>=</mo><mi>π</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math> не определен <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></math> .

Формула <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math> , выражающая <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi></math> через <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></math> , справедлива для <math><mi>a</mi><mo>≠</mo><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math> , так как при <math><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math> не определен <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi></math>, при <math><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>π</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math> не определен <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></math>, а при <math><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math> знаменатель дроби обращается в нуль.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math> через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса. Представим синус и косинус по формулам двойного угла как <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></math> и <math><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></math> соответственно. Теперь выражения <math><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></math> и <math><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></math> запишем в виде дробей со знаменателем <math><mn>1</mn></math> как <math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mo>·</mo><mi>cos</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mn>1</mn></mfrac></math> и <math><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mn>1</mn></mfrac></math> . Воспользуемся основным тождеством из тригонометрии и заменим единицы в знаменателе на сумму квадратов <math><mi>sin</mi></math> и <math><mi>cos</mi></math>, после чего получаем <math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mo>·</mo><mi>cos</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mstyle><mo>+</mo></mstyle><mstyle><msup><mstyle><mi>cos</mi></mstyle><mn>2</mn></msup></mstyle><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math> и <math><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mstyle><mo>-</mo></mstyle><mstyle><msup><mstyle><mi>sin</mi></mstyle><mn>2</mn></msup></mstyle><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mstyle><mo>+</mo></mstyle><mstyle><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup></mstyle><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math>

Для решения данного выражения необходимо числитель и знаменатель полученных дробей разделить на <math><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></math> (его значение не равно нулю при условии <math><mi>α</mi><mo>≠</mo><mi>π</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo>·</mo><mi>z</mi></math> ). Вся формула будет выглядеть так <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mo>·</mo><mi>cos</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mstyle><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mi>cos</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mi>с</mi><msup><mi>os</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mi>с</mi><msup><mi>os</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math> 

и <math><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><msup><mi>os</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><msup><mi>os</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>c</mi><msup><mi>os</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mi>c</mi><msup><mi>os</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>c</mi><msup><mi>os</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mi>c</mi><msup><mi>os</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle><mo>-</mo><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mi>c</mi><msup><mi>os</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mi>c</mi><msup><mi>os</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math>

Мы закончили вывод формул для <math><mi>sin</mi></math> и <math><mi>cos</mi></math>, завершив все вычислительные действия.

Следующий шаг – это вывод определенных формул для нахождения <math><mi>t</mi><mi>g</mi></math> и <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi></math>.

Взяв за основу описанные выше примеры <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> и <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> , мы сразу получаем формулы, которые выражают тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

<math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mstyle><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle><mstyle><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac><mo>;</mo></math>

<math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></math>;

В этом разделе мы нашли все формулы, которые нам потребуются для выражения основных тригонометрических функций.

Примеры использования в задачах и упражнениях

Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.

Пример 1

Необходимо привести <math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>4</mn><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac></math> к примеру, который содержит только одну функцию <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></math>.

В данном упражнении мы также воспользуемся универсальной подстановкой, которая является одним из важных правил тригонометрии. Применим к косинусу и синусу <math><mn>4</mn><mi>α</mi></math> те самые формулировки, которые выражают основные функции через тангенс половинного угла. Получив сложное выражение, нам остается только его упростить.

<math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>4</mn><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mrow><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>-</mo><mn>5</mn></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>·</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac></math>

<math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>4</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mstyle><mo> </mo></mstyle><mstyle><mn>4</mn></mstyle><mstyle><mi>α</mi></mstyle><mstyle><mo>-</mo></mstyle><mstyle><mn>5</mn></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>5</mn></mstyle><mstyle><mn>5</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>5</mn></mstyle></mfrac></math>.

Вспомним, что во введении мы подробно рассказали, как менять <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math> в частных случаях. Она заключается в том, чтобы преобразовать первоначальное рациональное выражение, содержащее <math><mi>sin</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>и</mi><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo>,</mo></math> к выражению с одной функцией благодаря формуле. Это намного проще и понятнее. Мы выражаем все формулы через <math><mi>t</mi><mi>g</mi></math> половинного угла. Данное преобразование обязательно пригодится при решении разнообразных уравненийи задач, интегрировании основных функций <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math>.

Всё ещё сложно?Наши эксперты помогут разобратьсяВсе услугиРешение задач от 1 дня / от 150 р.Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.Реферат от 1 дня / от 700 р.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Podpiska-300x130.jpg

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

2.png

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

<math><mrow><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow><mrow><mo>гипотенуза</mo></mrow></mfrac></mrow></math>

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

<math><mrow><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow><mrow><mo>гипотенуза</mo></mrow></mfrac></mrow></math>

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

<math><mrow><mi>tg</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

<math><mrow><mi>ctg</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Рассмотрим прямоугольный треугольник , угол <math><mi>C</mi></math> равен <math><mn>90</mn><mo>°:</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>tg</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>ctg</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>tg</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>ctg</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math>

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках <math><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo></mrow></math> и <math><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo><mo>,</mo></mrow></math> ось <math><mi>y</mi></math> в точках <math><mrow><mo>(</mo><mo>;</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></math> и <math><mrow><mo>(</mo><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></math>

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> ось <math><mi>y</mi></math> и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами <math><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo><mo>,</mo></mrow></math> – то есть от положительного направления оси <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться <math><mi>S</mi></math> (от слова start). Отметим на окружности точку <math><mi>A</mi><mo>.</mo></math> Рассмотрим <math><mrow><mo>∠</mo><mi>S</mi><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>,</mo></mrow></math> обозначим его за <math><mrow><mi>α</mi><mo>.</mo></mrow></math> Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть <math><mrow><mo>∠</mo><mi>S</mi><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mo>∪</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>.</mo></mrow></math>

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки <math><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>x</mi></math> (точка <math><mi>B</mi><mo>)</mo></math> и на ось игрек (точка <math><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></math>

Отрезок <math><mi>O</mi><mi>B</mi></math> является проекцией отрезка <math><mi>O</mi><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> отрезок <math><mi>O</mi><mi>C</mi></math> является проекцией отрезка <math><mi>O</mi><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math>

Рассмотрим прямоугольный треугольник <math><mrow><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mo>:</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>O</mi><mi>B</mi></math>

<math><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>A</mi><mi>B</mi></math>

Поскольку <math><mrow><mi>O</mi><mi>C</mi><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></math> – прямоугольник, <math><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>C</mi><mi>O</mi><mo>.</mo></mrow></math>

Итак, косинус угла – координата точки <math><mi>A</mi></math> по оси <math><mi>x</mi></math> (ось абсцисс), синус угла – координата точки <math><mi>A</mi></math> по оси <math><mi>y</mi></math> (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол <math><mi>α</mi></math> – тупой, то есть больше <math><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo><mo>:</mo></mrow></math>

Опускаем из точки <math><mi>A</mi></math> перпендикуляры к осям <math><mi>x</mi></math> и <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math> Точка <math><mi>B</mi></math> в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси <math><mi>x</mi><mo>.</mo></math>Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку <math><mi>A</mi></math> по окружности, расположить ее в <math><mo>III</mo></math> или даже в <math><mo>IV</mo></math> четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от <math><mrow><mo>°</mo></mrow></math> до <math><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>.</mo></mrow></math> Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью <math><mi>x</mi><mo>.</mo></math>  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы <math><mrow><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>45</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>.</mo></mrow></math> Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось <math><mi>x</mi></math> и на ось <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math>

Координата по оси <math><mi>x</mi></math> – косинус угла, координата по оси <math><mi>y</mi></math> – синус угла.

Пример:

<math><mi>cos</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math>

<math><mi>sin</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math>

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

<math><mrow><menclose><mrow><msup><mrow><mi>sin</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></menclose></mrow></math>

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике <math><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>:</mo></mrow></math>

<math><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>O</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup></math>

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></math>

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>

<math><mrow><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>45</mn><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow></math> <math><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo></mrow></math>
<math><mrow><mi>sin</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math>
<math><mrow><mi>cos</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math>
<math><mrow><mi>tg</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math> <math><mrow><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mrow></math> <math><mrow><mo>нет</mo></mrow></math>
<math><mrow><mi>ctg</mi><mi>α</mi></mrow></math> <math><mrow><mo>нет</mo></mrow></math> <math><mrow><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mrow></math> <math><mrow><mn>1</mn></mrow></math> <math><mrow><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math>

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

<math><mi>sin</mi><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>30</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>45</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>45</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>60</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>30</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>45</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>45</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>60</mn><mo>°</mo></math>

Рассмотрим тупой угол <math><mi>β</mi></math>:

Для произвольного тупого угла <math><mrow><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow></math> всегда будут справедливы следующие равенства:

<math><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>tg</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>tg</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>ctg</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>ctg</mi><mi>α</mi></math>

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

<math><mrow><mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

<math><mrow><mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>R</mi></mrow></math>

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

<math><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></math>

<math><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></math>

<math><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></math>

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Используемые источники:

  • https://calcsbox.com/post/osnovnye-trigonometriceskie-tozdestva.html
  • https://academyege.ru/page/osnovnye-trigonometricheskie-tozhdestva.html
  • https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/osnovnye-trigonometricheskie-formuly/
  • https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/universalnaja-trigonometricheskaja-podstanovka/
  • https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-1-trigonometriya/

</h2>