Геометрия. Урок 5. Окружность

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

krug.png okruzhnost.png

Общие определения

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Для любой точки L, лежащей на окружности, действует равенство OL=R. (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D). Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

okruzhnost-s-hordoj-diametrom-i-radiusom.png

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2pi R

Площадь круга: S=pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD. Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

horda-razbivaet-okruzhnost-na-dve-dugi.png

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

okruzhnost-s-centralnym-uglom.png

Длину дуги можно найти по формуле:

  1. Используя градусную меру: CD = frac{pi R alpha ^{circ}}{180^{circ}}
  2. Используя радианную меру: CD = alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N, то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N, равны между собой.

ANcdot NB = CN cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC cdot BC = EC cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

angle COD = cup CD = alpha ^{circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

angle AOB = 2 angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

angle CBD = angle CED = angle CAD = 90^ {circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

angle ADB = angle AEB = angle AFB

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {circ}.

angle ADB + angle AKB = 180^ {circ}

angle ADB = angle AEB = angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

angle DMC = angle ADM + angle DAM = frac{1}{2} left ( cup DmC + cup AlB right )

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

angle M = angle CBD — angle ACB = frac{1}{2} left ( cup DmC — cup AlB right )

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr,

где:

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = frac{S}{p},

где p = frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ circ}.

angle A + angle C = angle B + angle D = 180^ {circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = frac{a}{2 sin A} = frac{b}{2 sin B} = frac{c}{2 sin C}

R = frac{abc}{4 S}

где:

a, b, c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot AD

 Определение.

Вписанная в выпуклый многоугольник окружность — это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружности касательной).

Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности (По свойству касательной, сторона описанного многоугольника перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания).

По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

Пример.

Окружность с центром в точке O и радиусом r вписана в пятиугольник ABCDE.

ABCDE — описанный пятиугольник.

O — точка пересечения биссектрис ABCD, то есть ∠EAO=∠BAO, ∠ABO=∠CBO, ∠BCO=∠DCO, ∠CDO=∠EDO, ∠AEO=∠DEO.

Точка O равноудалена от точек касания. Расстояние от точки O до любой из сторон равно радиусу: OK=OL=ON=OM=OP=r.

Вершины ABCDE равноудалены от соответствующих точек касания:

AM=AN, BN=BL, CL=CK, DK=DP, EP=EM.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.

Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

где S — площадь многоугольника, p — его полупериметр.

Кроме основной, существуют формулы для нахождения радиуса вписанной окружности в частных случаях (для правильных многоугольников, отдельных видов треугольников, трапеции, ромба и т.д.).

  • Окружность — определение
  • Круг — определениеРадиус и диаметр окружностиОсновные свойства окружности
  • Формулы длины окружности и площади кругаУравнение окружностиКасательных окружности и ее свойстваСекущая окружности и ее свойстваХорда окружности и ее свойстваЦентральный угол, вписанный угол и их свойстваДуга, длина дуги, градусная мера дугиПолуокружность и полукругСектор, площадь сектораСегмент, площадь сегментаКонцентрические окружностиКольцо

Определение.Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.Определение.Единичная окружность — окружность, радиус которой равна единице.Определение.Круг — часть плоскости, ограничена окружностью.Определение.Радиус окружности R — расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.Определение.Диаметр окружности D — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.

Основные свойства окружности

1. Диаметр окружности равен двум радиусам.

D = 2r

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.

Формулы длины окружности и площади круга

Формулы длины окружности

1. Формула длины окружности через диаметр:

L = πD

2. Формула длины окружности через радиус:

L = 2πr

Формулы площади круга

1. Формула площади круга через радиус:

S = πr2

2. Формула площади круга через диаметр:

S = <mfrac><mn>πD2</mn><mn>4</mn></mfrac>

Уравнение окружности

1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:

r2 = x2 + y2

2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

r2 = (x — a)2 + (y — b)2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

{ x = a + r cos t
y = b + r sin t

Касательная окружности и ее свойства

Определение.Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.

Основные свойства касательных к окружности

1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности. 3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

AB = AC

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

∠ОAС = ∠OAB

Секущая окружности и ее свойства

Определение.Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности.

Основные свойства секущих

1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:

AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ

2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:

AQ ∙ BQ = CQ2

Хорда окружности ее длина и свойства

Определение.Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности.

Длина хорды

1. Длина хорды через центральный угол и радиус:

AB = 2r sin <mfrac><mn>α</mn><mn>2</mn></mfrac>

2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:

AB = 2r sin α

Основные свойства хорд

1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:

если хорды AB = CD, то

дуги ◡ AB = ◡ CD

2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:

если хорды AB ∣∣ CD, то

◡ AD = ◡ BC

3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:

если OD AB, то

AC = BC

4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:

AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC

5. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

если хорды AB = CD, то

ON = OK

6. Чем больше хорда тем ближе она к центру.

если CD > AB, то

ON < OK

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Определение.Центральный угол окружности — угол, вершиной которого есть центр окружности.Определение.Угол вписанный в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.

Основные свойства углов

1. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу — равны. 2. Вписанний угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°). 3. Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу

β = <mfrac><mn>α</mn><mn>2</mn></mfrac>

4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.

α + β = 180°

Определение.Дуга окружности (◡) — часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.Определение.Градусная мера дуги — угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):

l = <mfrac><mn>πr</mn><mn>180°</mn></mfrac>∙ α

Определение.Полуокружность — дуга в которой концы соединены диаметром окружности.Определение.Полукруг () — часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.Определение.Сектор () — часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.Формула.Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)

S = <mfrac><mn>πr2</mn><mn>360°</mn></mfrac>∙ α

Определение.Сегмент — часть круга, которая ограничена дугой и хордой, что соединяет ее концы.Определение.Концентрические окружности — окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.Определение.Кольцо — часть плоскости ограниченная двумя концентрическими окружностями.Формулы по геометрииТреугольник. Формулы и свойства треугольникаКвадрат. Формулы и свойства квадратаПрямоугольник. Формулы и свойства прямоугольникаПараллелограмм. Формулы и свойства параллелограммаРомб. Формулы и свойства ромбаТрапеция. Формулы и свойства трапеции- Равнобедренная трапеция. Формулы и свойства равнобедренной трапеции- Прямоугольная трапеция. Формулы и свойства прямоугольной трапецииПравильный многоугольник. Формулы и свойства правильного многоугольникаОкружность, круг, сегмент, сектор. Формулы и свойстваЭллипс. Формулы и свойства эллипсаКуб. Формулы и свойства кубаПризма. Формулы и свойства призмыПирамида. Формулы и свойства пирамидыСфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойстваЦилиндр. Формулы и свойстваКонус. Формулы и свойстваФормулы площади геометрических фигурФормулы периметра геометрических фигурФормулы объема геометрических фигурФормулы площади поверхности геометрических фигурВсе таблицы и формулыlogotip.pngСайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.2014-09-1313Сен 2014

Эта статья содержит минимальный набор сведений об окружности, необходимый для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Для любой точки math_993_1e7f85ad98f88dbce3f846846207b8c9.png, лежащей на окружности выполняется равенство math_993_ed0ed733b45e1155febb27317fe844da.png ( Длина отрезка math_993_27c306f93b44c9cd0028dc2467828a26.png равна радиусу окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром окружности (math_993_b8f3d30bf1c346e37d3cba37588e9b6d.png).math_993_d9e114f2a9486451bbbe3947afd7535a.png

Длина окружности:

math_989.5_38ddd0b515eb61941fa8c389d1dad526.png

Площадь круга:

math_990_a5389893a56ca8e9b2db4900007a12bf.png

Дуга окружности:

Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности. Две точки окружности определяют две дуги. Хорда  math_993_d78577a356f190da72e0e4b801d6a848.png стягивает две дуги: math_993_234be4eba7ca3f4d0643d5f411852b80.png и math_993_c8ffc4108e501a60f46948f4e8e573ee.png. Равные хорды стягивают равные дуги.

Угол между двумя радиусами называется центральным углом:

Чтобы найти длину дуги math_993_d78577a356f190da72e0e4b801d6a848.png, составляем пропорцию:

а) угол math_993_2db4d817922b6a60df1adac1179ec1f1.png дан в градусах:

Отсюда math_973_8f98a8cfc6cb17c0dfb34259e94ce5bf.png

б) угол math_993_2db4d817922b6a60df1adac1179ec1f1.png дан в радианах:

Отсюда math_993_b27d4d2926b9345c653701df4bb901f0.png

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и дуги, которые она стягивает пополам:

Если  хордыmath_993_4c57fef2772c15f49c675e2e1532b5e8.png и math_993_d78577a356f190da72e0e4b801d6a848.pngокружности пересекаются в точкеmath_993_5ce2c8f3128f285f06d30b60a7641e97.png, то произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой math_993_5ce2c8f3128f285f06d30b60a7641e97.png равны между собой:

math_989.5_38945b4d13a779ef969e3ede998c1653.png

Касательная к окружности.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку называется касательной к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к  точке касания.

Если из данной точки  проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных  равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке:

math_989.5_e41bbee19c0c0e0f1643bd46b1f791da.png

Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной  равен произведению  всего отрезка секущей на его внешнюю часть:

math_989.5_469a830621b24cd05b19ae45300cf6b2.png

Следствие: произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть:

math_989.5_45cc4db5bd31a6bbe57e52ca9b3ba448.png

Углы в окружности.

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:

math_989.5_649e4b614c838000cc052d172f9dad7e.pngmath_990_081913e9c7174d8cea660365c957c967.png

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным угломВписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

math_993_7485fbe802ab73bad2593a7f9eb54b57.pngmath_993_19710ddadf2f8184dce6285c89956786.png

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

math_989.5_3e620b9f4fa0a38c57b52e81d6296e6a.pngmath_989.5_760cbff964bae2e967ddfb29a77a2664.pngmath_989.5_23a21f6a43826a9461bc04ee0c469497.png

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:

math_989.5_b8dbb1bad0bf8341ee4e9dc5aade1676.pngmath_989.5_53bf31d3159ea711bf08559fb7fe1dab.pngmath_989.5_902ff56d606af36a83c1826d892ccded.png

Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равнаmath_993_d99da483dbaa602279ef18a8dc072854.png

math_989.5_ac2d4d594f2a332cb12e447bdbcf4a22.pngmath_989.5_449d896c7b1879e161bcdd7f1f4a3558.png

math_989.5_b8dbb1bad0bf8341ee4e9dc5aade1676.pngmath_989.5_53bf31d3159ea711bf08559fb7fe1dab.pngmath_989.5_902ff56d606af36a83c1826d892ccded.png

Вершины треугольников с заданным основанием и равными углами при вершине лежат на одной окружности:

Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри данного угла и внутри вертикального угла.

math_989.5_ae10ade60590a2f9d6e71dac7bce3401.pngmath_989.5_67cc4f8b6079232f6a523db85393c3b2.pngmath_976_392bd6edd647d0b2083268837caea45c.png( ⌣ math_989.5_54af6bd811bd731ad1f3c86db0304940.pngmath_989.5_27d496d56e9bae2451ab0acae26b6692.png)

Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла.

math_989.5_62d3c7638b07e253b892551a78dc3ba5.pngmath_989.5_c6e0c7897ec128a9a1ced77f627049b0.pngmath_976_d6e603b6fefe0de0d29d839087d8c803.png( ⌣ math_989.5_dc21c08fc9ffa367ce1af9e9d1977774.pngmath_989.5_27d496d56e9bae2451ab0acae26b6692.png)

 Вписанная окружность.

Окружность называетсявписанной в многоугольник, если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле

math_989.5_b1df310aca050b522086c63a392a17d6.png,

здесь math_993_989ae4f0a2ea31db452b35e0d9980e6f.png— полупериметр многоугольника, math_993_2d337e4372792a35c557c24dc3144f62.png — радиус вписанной окружности.

Отсюда радиус вписанной окружности равен math_976_b699554d21f7743a46b0b0fbb0eeba87.png

Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:

math_989.5_1cff28f08e8b33e8fecbe33e8eea5894.png

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус вписанной окружности равен math_976_b699554d21f7743a46b0b0fbb0eeba87.png. Здесь math_976_c04a72c4324d7154a9cc0a2986aee951.png

Описанная окружность.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равнаmath_993_d99da483dbaa602279ef18a8dc072854.png.

math_989.5_bed96dd949cb4396935419c015179413.png+∠math_989.5_c5a230c5d9d0285421fe3ef082d6d06c.png=∠math_990_779643149d8f9853026954c5ad006e72.png+∠math_989.5_946687e40dedbb4f5ad0c41e37a5c88c.png

Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:

Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:

Где math_992.5_91e6c1ba7918beb680ac33025393affd.png — длины сторон треугольника, math_993_e87590672d0f9b3bdc334ecd714f930e.png — его площадь.

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

</span>

Для вас другие записи этой рубрики:

podpiska.pngИнна | Отзывов (23)</span>Используемые источники:

  • https://academyege.ru/page/okruzhnost-i-krug.html
  • http://www.treugolniki.ru/vpisannaya-okruzhnost/
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/circle/
  • https://ege-ok.ru/2014/09/13/vse-chto-nuzhno-znat-ob-okruzhnosti