Точный угол 90 градусов с помощью рулетки

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов является прямым. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, гипотенузой.

Прямоугольный треугольник: основные формулы

13-300x265.jpg

  1. Пусть Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  2. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.  AB2 = AC2 + CB2

Прямоугольный треугольник:  формулы площади и проекции

14-300x265.jpg

  1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна : h = (ab):c.
  2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: CH2 = AH·BH.
  3. Катет прямоугольного треугольника – среднее пропорциональное или среднее геометрическое  между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:  CA2 = AB·AH;  CB2 = AB·BH.
  4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине.
  5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. S = (ab):2.
  6. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы и высоты.  S = (hc):2.

Прямоугольный треугольник:  формулы тригонометрия

  1. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.                 cosα  = AC: AB.
  2. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.           sinα = BC:AB.
  3. Тангенс  острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.    tgα  = BC:AC.
  4. Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.    ctgα  = AC:BC.
  5. Основное тригонометрическое тождество:  cos2α + sin2α = 1.
  6. Теорема косинусов: b2 = a2 + c2 – 2ac·cosα.
  7. Теорема синусов: CB :sinA = AC : sinB = AB.

Прямоугольный треугольник:  формулы для описанной окружности

15-300x226.jpg

  1. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы : R=AB:2.
  2. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Прямоугольный треугольник:  формулы для вписанной  окружности

16-300x209.jpg

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле: r = (a + b  -c):2.

Рассмотрим применение тригонометрических формул прямоугольного треугольника при решении задания 6(вариант 32) из  сборника для подготовки к ЕГЭ по математике профиль автора Ященко.

В треугольнике ABC угол С равен 90°, sinA = 11/14, AC =10√3. Найти АВ.

Решение:

  1. Применяя основное тригонометрическое тождество, найдем cosA = 5√3/14.
  2. По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника имеем: cosA = AC : AB, AB = AC : cosA = 10√3·14:5√3 = 28.

Ответ: AB = 28.

ЗАДАНИЕ 12 ЕГЭ МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬ( 20 ВАРИАНТ ЯЩЕНКО 2018)

  • right_triangle.png

    Свойства

    c — гипотенуза a, b — катеты α, β -углы h — высота m — медиана l — биссектриса P — периметр S — площадь r — радиус вписанной окружности R — радиус описанной окружности

    В прямоугольном треугольнике, зная катеты, можно найти гипотенузу через теорему Пифагора. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов. с=√(a^2+b^2 )

    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а периметр – сумме катетов и гипотенузы. S=ab/2 P=a+b+c=a+b+√(a^2+b^2 )

    Углы в прямоугольном треугольнике найти, зная катеты, тоже невероятно просто. Отношение одного катета к другому будет тангенсом противоположного угла и котангенсом близлежащего. (рис. 79.1) tan⁡α=a/b cot⁡α=a/b

    С другой стороны, зная один из углов, можно найти второй, отняв его из 90 градусов. α=90°-β

    Высота у прямоугольного треугольника всего одна, и она относится к любому из катетов как косинус прилежащего к нему угла. (рис. 79.2) cos⁡α=h/b h=b cos⁡α cos⁡β=h/a h=a cos⁡β

    Формула медианы в прямоугольном треугольнике преобразуется в отношение гипотенузы к двум или радикала из суммы квадратов катетов к двум, если даны только катеты. (рис. 79.3) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2=√(2c^2-c^2 )/2=√(c^2 )/2=c/2=√(a^2+b^2 )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2

    Биссектриса, опущенная на гипотенузу, вычисляется аналогично произвольному треугольнику, с подстановкой радикала вместо гипотенузы. (рис.79.4) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)=√(ab((a+b)^2-с^2))/(a+b)=√(ab(a^2+2ab+b^2-a^2-b^2))/(a+b)=√(ab*2ab)/(a+b)=(ab√2)/(a+b) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b-c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)

    Средние линии прямоугольного треугольника образуют внутри него еще один прямоугольный треугольник. Внутренний треугольник будет подобен внешнему, так как средние линии параллельны катетам и гипотенузе, и равны соответственно их половинам. Поскольку гипотенуза неизвестна, для нахождения средней линии M_c нужно подставить радикал из теоремы Пифагора. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2=√(a^2+b^2 )/2

    Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике вычисляется по упрощенной формуле для произвольного треугольника, а радиус описанной окружности является половиной гипотенузы и совпадает с медианой. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+b-√(a^2+b^2 ))/2 R=m=c/2=√(a^2+b^2 )/2

Определение и формулы прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕТреугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.

Для прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
  • Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна :
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов:

BC, AB>BC]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы.</li> Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. </li>Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. </li>Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности:</li></ul>

Признаки равенства прямоугольных треугольников

  • По двум катетам: если два катета одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  • По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  • По стороне и острому углу: Если сторона и прилежащий к ней острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны стороне и прилежащему к ней острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и вычисляется по формуле

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание В прямоугольном треугольнике катет равен см, а . Найти гипотенузу .
Решение В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна , значит

Также известно, что катет (рис. 1), лежащий против угла равен половине гипотенузы, т.е.

см

Ответ см.

ПРИМЕР 2

Задание В равнобедренном треугольнике угол – прямой, см. Найти площадь .
Решение Запишем для прямоугольного треугольника теорему Пифагора:

Так как этот треугольник равнобедренный, то . Тогда

откуда .

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.

Ответ см.

X

Соавтор(ы): Mark Spelman. Марк Спелман — генеральный подрядчик из Остина, Техас. Имеет более 30 лет опыта в строительстве, специализируется на внутренних строительных работах, управлении проектами и оценке проектов. Профессионально занимается строительством с 1987 года. Количество просмотров этой статьи: 65 849.

Одна из проблем при построении угла или треугольника – сделать угол прямым. Конечно, угол не обязательно должен быть идеально прямым, но при проектировании нужно постараться сделать так, чтобы максимально приблизить угол к значению 90 градусов. Если не получится, есть вероятность, что ковровое покрытие будет положено неровно относительно какой-либо стены. Метод 3-4-5 полезен для небольших строительных проектов, чтобы все покрытия были ровными и совпадали друг с другом, как и планировалось.

Метод 1 из 1:Как пользоваться правилом 3-4-5</h3>

  1. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/d/db/Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-1-Version-4.jpg/v4-460px-Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-1-Version-4.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/d/db/Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-1-Version-4.jpg/v4-728px-Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-1-Version-4.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»}</span>1Поймите, в чем суть правила 3-4-5. Если у треугольника есть три стороны со значениями 3, 4 и 5 см (или кратное им значение), это прямоугольный треугольник, угол между сторонами с меньшими значениями составляет 90 градусов. Если у вас получилось построить треугольник, исходя из значений угла, то можно точно сказать, что угол прямоугольный. Это правило основано на теореме Пифагора: <font>A2 + B2 = C2</font> (в прямоугольном треугольнике). Где С – самая длинная сторона (гипотенуза), А и В –остальные стороны (катеты).[1]XИсточник информации
    • Правило 3-4-5 очень удобно проверить благодаря целым числам. Итак, опираясь на математические расчеты: <font>32 + 42</font> = 9 + 16 = 25 = <font>52</font>.
  2. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/9/9a/Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-2-Version-4.jpg/v4-460px-Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-2-Version-4.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/9/9a/Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-2-Version-4.jpg/v4-728px-Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-2-Version-4.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»}</span>2Отмерьте от угла 3 см (или 3 м) на одной стороне. Можно взять любую меру длины. Пометьте отмеренный участок точкой.
    • Можно умножить каждое число на одно и то же число – и это правило все равно сработает. Например, это правило будет работать для треугольника со сторонами 30-40-50 сантиметров или метров. Если у вас большая комната, можно использовать следующие числа: 9-12-15, 6-8-10 метров.
  3. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/3/39/Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-3-Version-4.jpg/v4-460px-Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-3-Version-4.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/3/39/Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-3-Version-4.jpg/v4-728px-Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-3-Version-4.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»}</span>3Отмерьте четыре метра (или длину со значением, которое кратно четырем) на другой стороне. То же самое, если у вас получится сделать треугольник, то угол между этими двумя сторонами будет равен 90 градусам. Снова пометьте отмеренный участок точкой.
  4. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/9/92/Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-4-Version-4.jpg/v4-460px-Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-4-Version-4.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/9/92/Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-4-Version-4.jpg/v4-728px-Use-the-3-4-5-Rule-to-Build-Square-Corners-Step-4-Version-4.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»}</span>4Теперь измерьте расстояние между этими двумя метками. Если расстояние кратно пяти, то можно точно сказать, что угол составляет 90 градусов.[2]XИсточник информации
    • Если расстояние меньше, чем 5 единиц (метров), значит, угол острый (меньше 90 градусов). Если есть такая возможность, нужно немного раздвинуть стороны, образующие этот угол.
    • Если расстояние между метками составляет больше 5 единиц (метров), значит, угол тупой (то есть больше 90 градусов). Если есть такая возможность, нужно свести стороны, образующие угол, поближе друг к другу, чтобы угол получился прямым. Строя прямой угол, можно использовать прямой угол рамки.
    • Получив прямой угол в 90 градусов, можно проверить остальные углы комнаты, чтобы убедиться в том, что они прямые.

    Реклама

</li>

Советы

  • Этот метод считается более точным, чем с использованием специального инструмента угольника, потому что этот инструмент может быть слишком мал для измерения на больших расстояниях и площадях.
  • Чем большую меру измерения вы возьмете, тем точнее будет результат.[3]XИсточник информации

Реклама

Что вам понадобится

</li></div></li></ol></div>

Источники

Реклама</div>

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.) 

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$. 

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$ 

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$ 

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника. 

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ 

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$  для острого угла $В$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tgB={AC}/{BC};$

$ctgB={BC}/{AC}.$

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA=-cos BOC;$

$tg BOA=-tg BOC;$

$ctg BOA=-ctg BOC.$

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

$S={AC∙BC}/{2}$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√{91}$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Решение:

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

$cosABD=-cosABC$

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

$cosABC={ВС}/{АВ}$

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

$ВС=√{10^2-√{91}^2}=√{100-91}=√9=3$

Подставим найденное значение в формулу косинуса

$cos ABC = {3}/{10}=0,3$

$cos ABD = — 0,3$

Ответ: $-0,3$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A={4}/{5}, AC=9$. Найдите $АВ$.

Решение:

Распишем синус угла $А$ по определению:

$sin⁡A={ВС}/{АВ}={4}/{5}$

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

$9^2+(4х)^2=(5х)^2$

$81+16х^2=25х^2$

$81=25х^2-16х^2$

$81=9х^2$

$9=х^2$

$х=3$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

Ответ: $15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB∙AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB∙DB$

$AC^2=AB∙AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC∙CB=AB∙CD$

Практика: решай 6 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профильной) Используемые источники:

  • https://mathembox.xyz/2018/01/08/prjamougolnyj-treugolnik-formuly/
  • https://geleot.ru/education/math/geometry/calc/triangle/right_triangle_catheti
  • http://ru.solverbook.com/spravochnik/formuly-po-geometrii/treugolnik/pryamougolnyj-treugolnik/
  • https://ru.wikihow.com/применять-правило-3-4-5-при-строительстве-прямых-углов
  • https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/pryamougolnie_treugolniki