Координатное представление векторов

Вспомним для начала основные понятия и формулы.

picture10_154x171.jpg

Пусть даны две точки: А(x1; x2) и B(y1; y2). Рассмотрим отрезок AB.

Длина отрезка АВ – это расстояние между точками A и B, его величина вычисляется по следующей формуле:

picture1_216x30.jpg

Рассмотрим теперь вектор AB. Напомню, что вектор – это направленный отрезок, то есть для него указано, какая из двух точек A и B является началом, а какая – концом. На рисунке ниже слева изображен отрезок AB, а справа – вектор AB с началом в точке A и концом в точке B.

picture2.jpg

Координаты вектора AB вычисляются следующим образом: из соответствующих координат конца вектора вычитаются соответствующие координаты начала вектора. Например, для нашего вектора AB это будет выглядеть так: AB(x2 – x1; y2 – y1).

Замечу, что модулем вектора AB называется длина отрезка AB.

Вспомним как найти координаты середины отрезка AB. Для этого есть простая формула:

x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2.

До этого момента мы рассматривали координаты на плоскости, а что, если речь пойдет о пространстве? Тут, оказывается, тоже все просто.

Пусть даны две точки A(x1; x2; x3) и B(y1; y2; y3).

Формула для вычисления длины отрезка AB, расположенного в пространстве будет выглядеть так:

picture3.jpg

А координаты середины отрезка AB найдем по формуле

x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z = (z1 + z2)/2.

И еще одна полезная формула: если вектор задан своими координатами, например,  MN(x1; x2; x3), то его модуль вычисляется по формуле:

picture4.jpg

Чтобы сложить два или более векторов, нужно сложить их соответствующие координаты, например,

(x1; x2; x3) + (y1; y2; y3) = (x1 + y1; x2 + y2; x3 + y3).

Чтобы умножить вектор на число, нужно умножить каждую его координату на это число, например,

5 · (x1; x2; x3) = (5 · x1; 5 · x2; 5 · x3).

Скалярным произведением двух векторов а и b называется число

a · b = |a»b| · сos (a, b),

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов, заданных координатами, например, MN(x1; x2; x3) и PK(y1; y2; y3), можно воспользоваться следующей формулой:

MN · PK = x1 · y1 + x2 · y2 + x3 · y3.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

На практике коллинеарность векторов (x1; x2) и (y1; y2) проще всего проверить, используя следующее свойство: коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, то есть существует число p, такое, что (x1; x2) = p · (y1; y2).

Существуют также такие понятия, как сонаправленные векторы и противоположно направленные векторы.Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону, соответственно, противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в разные стороны.

Теперь давайте рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача 1.

Доказать, что треугольник с вершинами A(6; -4; 2), B(3; 2; 3) и C(3; -5; -1) прямоугольный.

Решение.

Вполне очевидно, что для доказательства этой задачи достаточно показать, что один из углов треугольника ABC равен 90 градусов. Вспомним формулу для вычисления скалярного произведения через модули соответствующих векторов и косинус угла между ними, преобразуем ее и воспользуемся для нахождения угла.

сos (a, b) = a · b/|a»b|.

Для начала нам понадобятся координаты всех векторов, задающих стороны треугольника, их модули и всевозможные скалярные произведения. Вычисляем их.

Координаты векторов:

AB(3 6; 2 (-4); 3 2) = AB(-3; 6; 1);

BC(3 3; -5 2; -1 3) = BC(0; -7; -4);

CA(6 3; -4 (-5); 2 (-1)) = CA(3; 1; 3).

Модули:

|AB| =

|BC| =

|CA| =

Скалярные произведения:

AB · BC = (-3) · 0 + 6 · (-7) + 1 · (-4) = 0 42 4 = -46;

BC · CA = 0 · 3 + (-7) · 1 + (-4) · 3 = 0 7 12 = -19;

AB · CA = (-3) · 3 + 6 · 1 + 1 · 3 = -9 + 6 + 3 = 0.

Теперь легко заметить, что угол между векторами AB и CA равен 90 градусов, так как

сos (AB, CA) = AB · CA / |AB»CA| = 0.

А, значит, угол А треугольника ABC равен 90 градусов, то есть треугольник ABC – прямоугольный, что и требовалось доказать.

Задача 2.

Даны точки А(0; 1; 2), B(1; 2; 4), C(-1; -1; 3) и D(1; 0; 0). Точки M и N – середины отрезков AC и BD. Найдите вектор MN и его модуль.

Решение.

Для начала найдем координаты точек M и N.

M((0 1)/2; (1 1)/2; (2 + 3)/2) = M(-1/2; 0; 5/2);

N((1 + 1)/2; (2 + 0)/2; (4 + 0)/2) = N(1; 1; 2).

Теперь найдем координаты вектора MN:

MN(1 (-1/2); 1 0; 2 5/2) = MN(3/2; 1; -1/2).

Осталось найти модуль вектора MN.

|MN| =

Задача 3.

При каких значениях x векторы (x 1)a и 2xa сонаправлены, где a – вектор, не равный нулевому вектору?

Решение.

Для того чтобы данные векторы были сонаправлены, необходимо, чтобы коэффициенты (x 1) и 2x имели одинаковый знак, а значит, чтобы выполнялось следующее неравенство: (x3 1) · 2x > 0. Решим его методом интервалов и найдем соответствующие x.

Получим x € (-∞; 0) U (1; +∞).

Если бы в задаче требовалось узнать, при каких x данные векторы будут противоположно направлены, мы бы потребовали, чтобы у коэффициентов (x3 1) и 2x были различные знаки.

Задача 4.

Даны координаты вершин четырехугольника: A(2; -2), B(-3; 1), C(7; 7) и D(7; 1). Доказать, что ABCD – трапеция.

Решение.

Так как трапеция – это четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна, то для доказательства нам достаточно показать, что векторы BC и AD – коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых. Найдем для начала их координаты.

BC(7 (-3); 7 1) = BC(10; 6);

AD(7 2; 1 (-2)) = AD(5; 3).

Заметим, что координаты векторов пропорциональны: (10; 6) = 2 · (5; 3). Это и указывает на то, что данные векторы коллинеарны, а, значит, ABCD – трапеция.

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.Первый урок – бесплатно!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Морфемный и словообразовательный разборы словаАберрации оптических систем

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

У любого вектора есть 2 главные характеристики:

  • длина (математики говорят «модуль вектора»)
  • направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)

Третья характеристика вектора – это его координаты.

Примечание:

Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.

Что такое координаты вектора

Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).

Координаты вектора указывают так:

[vec{a} = left{ a_{x}; a_{y} right}]

( a_{x} ) – это  «x» координата вектора, проекция вектора ( vec{a} ) на ось Ox;

( a_{y} ) — это  «y» координата вектора, проекция вектора ( vec{a} ) на ось Oy;

Рис. 1. Обозначения вектора и его проекций на координатные оси

Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:

«координата вектора» = «конец» — «начало»

 

Пример:

( A left( 1;1 right) ) — начальная точка,

( B left( 4;3 right) ) — конечная точка,

Рис. 2. На плоскости отмечены две точки

( overrightarrow {AB} ) – вектор.

[ overrightarrow {AB} = left{ AB_{x}; AB_{y} right} ]

[ begin{cases}  AB_{x} = 4 – 1; AB_{x} = 3  \ AB_{y} = 3 – 1; AB_{y} = 2 end{cases} ]

[ overrightarrow {AB} = left{ 3; 2 right} ]

Рис. 3. Вектор и его координаты

Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)

Длину вектора (его модуль) обозначают так:

( left| vec{a} right| ) – длина вектора ( vec{a} ).

Как вычислить длину вектора по его координатам

Когда известны координаты вектора, его длину считают так:

( a_{x} ) и ( a_{y} ) — это числа, координаты вектора ( vec{a} )

Для двухмерного вектора:

[ large boxed {  left| vec{a} right| = sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} } }]

Для трехмерного вектора:

[ large boxed {  left| vec{a} right| = sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2} } } ]

Как вычислить длину вектора с помощью рисунка

Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:

1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:

— считаем количество клеточек.

Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.

Рис. 4. Вектор располагается вдоль линий, на листке в клетку

2). Если вектор не лежит вдоль линий:

— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.

Рис. 5. Вектор не расположен вдоль линий, разграничивающих листок в клетку

( Delta x ) — горизонталь; ( Delta y ) — вертикаль;

— затем применяем формулу:

[ left| vec{a} right| = sqrt { left(Delta x  right)^{2} + left( Delta y right)^{2} } ]

Как указать направление вектора

Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.

Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.

Для двумерного вектора

Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:

  • угол ( alpha ) между вектором и горизонталью (осью Ox),
  • или угол ( beta ) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).

Рис. 6. Углы между вектором и осями на плоскости

Словами указать направление вектора можно так:

  • вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
  • Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.

Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.

Для трехмерного вектора

Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.

  • угол между вектором и осью Oz;
  • и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;

Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.

Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).

Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.

Для указания сферических координат принято использовать:

  • длину вектора,
  • угол между осью Ox и вектором и
  • угол между осью Oz и вектором.

1. Координаты вектора

Если вектор задан координатами своих начала и конца: , то его координаты равны разности соответствующих координат конца и начала:

ПРИМЕР

Задание Найти координаты вектора , если его начало – точка , а конец – точка
Решение Чтобы найти координаты вектора, нужно от координат конца отнять соответствующие координаты начала этого вектора:
Ответ

2. Длина или модуль вектора

Если вектор , то его длина равна корню квадратному из суммы квадратов координат:

ПРИМЕР

Задание Найти модуль вектора
Решение Модуль вектора равен корню квадратному из суммы его координат, тогда для рассматриваемого вектора имеем:
Ответ

3. Сумма векторов

Если векторы и заданы своими координатами, то суммой этих векторов есть вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов-слагаемых:

ПРИМЕР

Задание Найти сумму векторов и
Решение Чтобы найти сумму указанных векторов, прибавим их соответствующие координаты:
Ответ

4. Умножение вектора на число

Чтобы найти произведение вектора на некоторое число , нужно каждую координату заданного вектора умножить на это число:

ПРИМЕР

Задание Найти вектор , если
Решение Для нахождения вектора умножим каждую координату вектора на :
Ответ

5. Скалярное произведение векторов

Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

ПРИМЕР

Задание Найти скалярное произведение векторов и
Решение Скалярное произведение указанных векторов равно сумме произведений соответствующих координат векторов-сомножителей, то есть
Ответ

6. Векторное произведение векторов

Если векторы и заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе , то их векторное произведение находится по формуле:

ПРИМЕР

Задание Найти векторное произведение векторов и
Решение Искомое векторное произведение равно определителю

Раскладывая записанный определитель по первой строке, будем иметь:

Ответ

7. Смешанное произведение векторов

Если заданы три вектора и , то их смешанное произведение равно определителю, по строкам которого записаны координаты этих векторов:

Замечание. Обычно такой определитель вычисляется методом треугольников.

ПРИМЕР

Задание Найти смешанное произведение векторов и
Решение Для вычисления смешанного произведения указанных векторов, составим определитель, по строкам которого записаны их координаты:
Ответ

8. Угол между векторами

Косинус угла между двумя векторами и , заданными своими координатами, равен частному скалярного произведения этих векторов и произведению их модулей:

ПРИМЕР

Задание Найти угол между векторами и
Решение Искомый угол вычисли по формуле:

То есть

Ответ

9. Проекция вектора на вектор

Проекция вектора на направление вектора равна отношение скалярного произведения этих векторов к модулю вектора :

ПРИМЕР

Задание Найти проекцию вектора на вектор .
Решение Искомая проекция вычисляется по формуле:

Тогда

Ответ

Содержание:

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Определение 1

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается <math><mi>O</mi><mi>x</mi><mi>y</mi></math>, где <math><mi>O</mi><mi>x</mi></math> и <math><mi>O</mi><mi>y</mi></math> – оси коорднат. Ось <math><mi>O</mi><mi>x</mi></math> называют осью абсцисс, а ось <math><mi>O</mi><mi>y</mi></math> – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось <math><mi>O</mi><mi>z</mi></math>, которая перпендикулярна и <math><mi>O</mi><mi>x</mi></math> и <math><mi>O</mi><mi>y</mi></math>).

Пример 1

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат <math><mi>O</mi><mi>x</mi><mi>y</mi></math> на плоскости если мы отложим от начала координат векторы <math><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math> , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей <math><mi>O</mi><mi>x</mi></math> и <math><mi>O</mi><mi>y</mi></math> , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае <math><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math> являются координатными векторами.

Координатные векторы

Определение 2

Векторы <math><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math>называются координатными векторами для заданной системы координат.

Пример 2

Откладываем от начала координат произвольный вектор <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> может быть представлен в виде <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math> , где коэффициенты <math><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub></math> и <math><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></math> — единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Определение 3

Разложением вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> по координатным векторам <math><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math> на плоскости называется представление вида <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math>.

Определение 4

Коэффициенты <math><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub></math> и <math><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></math> называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math> означает, что вектор <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> имеет координаты <math><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math> в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам <math><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math> как<math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math>.

Замечание

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы <math><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math> имеют координаты <math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo></math> и <math><mo>(</mo><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений <math><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover><mo>;</mo><mo> </mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math>.

Также имеет место быть нулевой вектор <math><mover><mo>→</mo></mover></math> с координатами <math><mo>(</mo><mo>;</mo><mo>)</mo></math> и разложением <math><mover><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math>.

Равные и противоположные векторы

Определение 5

Векторы<math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mi>и</mi><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></math>равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Определение 6

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, <math><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo></math>.

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов <math><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>k</mi><mo>→</mo></mover></math>, а произвольный вектор <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>k</mi><mo>→</mo></mover></math>, а коэффициенты этого разложения <math><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mo>)</mo></math> называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты <math><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>;</mo><mo>)</mo></math> ,   <math><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo></math>,   <math><mover><mi>k</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>;</mo><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math>, координаты нулевого вектора также равны нулю <math><mover><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>;</mo><mo>;</mo><mo>)</mo></math> , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны<math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>⇔</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mi>z</mi></msub></math> , и координаты противоположного вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> противоположны соответствующим координатам вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> , то есть,<math><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>;</mo><mo> </mo><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mo>)</mo></math> .

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат <math><mi>O</mi><mi>x</mi><mi>y</mi></math> и на ней задана произвольная точка <math><mi>M</mi></math> с координатами <math><mi>M</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>M</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>y</mi><mi>M</mi></msub><mo>)</mo></math>.

Определение 7

Вектор<math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>M</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> называется радиус-вектором точки<math><mi>M</mi></math>.

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор <math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>M</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> имеет вид суммы <math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>M</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi>O</mi><msub><mi>M</mi><mi>x</mi></msub></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mrow><mi>O</mi><msub><mi>M</mi><mi>y</mi></msub></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>x</mi><mi>M</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mi>M</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math>, где точки <math><msub><mi>M</mi><mi>x</mi></msub></math> и <math><msub><mi>M</mi><mi>y</mi></msub></math> это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а <math><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math> — координатные векторы, следовательно, вектор <math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>M</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> имеет координаты <math><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>M</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>y</mi><mi>M</mi></msub><mo>)</mo></math> в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

risunok_FeabU6u.png

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки <math><mi>M</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>M</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>y</mi><mi>M</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>z</mi><mi>M</mi></msub><mo>)</mo></math> разлагается по координатным векторам как <math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>M</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi>O</mi><msub><mi>M</mi><mi>x</mi></msub></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mrow><mi>O</mi><msub><mi>M</mi><mi>y</mi></msub></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mrow><mi>O</mi><msub><mi>M</mi><mi>z</mi></msub></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>x</mi><mi>M</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mi>M</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><msub><mi>z</mi><mi>M</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>k</mi><mo>→</mo></mover></math>, следовательно, <math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>M</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>M</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>y</mi><mi>M</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>z</mi><mi>M</mi></msub><mo>)</mo></math>.

Всё ещё сложно?Наши эксперты помогут разобратьсяВсе услугиРешение задач от 1 дня / от 150 р.Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.Реферат от 1 дня / от 700 р.Используемые источники:

  • https://blog.tutoronline.ru/koordinaty-i-vektory
  • https://formulki.ru/vektory/harakteristiki-vektora-dlina-napravlenie-koordinaty
  • http://ru.solverbook.com/spravochnik/vektory/formuly-vektorov/
  • https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/koordinaty-vektora-v-dsk/